Впервые комплексные числа были задействованы для вычислений в книге итальянского математика Джероламо Кардано, опубликованной в 1545 году. Однако роль комплексной геометрии как значимой дисциплины была признана только спустя три столетия. Человеком, который вывел комплексную геометрию на передний план математики, стал Георг Фридрих Бернхард Риман — архитектор первых подробно исследованных комплексных многообразий — так называемых римановых поверхностей. Эти поверхности приобретут особую важность в теории струн, созданной почти через сто лет после смерти Римана. Когда крошечная замкнутая струна, являющаяся основным элементом теории струн, движется в многомерном пространстве-времени, поверхность, которую она заметает за собой, является римановой. Использование таких поверхностей для расчетов в рамках теории струн сделало их одними из наиболее исследованных поверхностей в современной теоретической физике. Теория римановых поверхностей существенно обогатилась от сотрудничества с теорией струн, поскольку полученные из физического описания уравнения весьма укрепили ее математическую часть.
Римановы поверхности, подобно обычным двухмерным многообразиям, являются гладкими, но из их комплексной природы — они являются одномерными комплексными многообразиями — следует наличие у них дополнительной встроенной структуры. Одна особенность, автоматически следующая из комплексной природы поверхности, но не всегда присущая действительным поверхностям, состоит в том, что все окрестности поверхности связаны друг с другом определенным образом. Спроецировав небольшой фрагмент искривленной римановой поверхности на плоскость и затем проделав ту же операцию для всех окружающих его фрагментов, можно получить карту, похожую на ту, которая получается при изображении трехмерного глобуса в двухмерном географическом атласе мира. Если сделать подобную карту на основе римановой поверхности, то расстояния между различными объектами на этой карте будут искажены, однако углы между ними сохранятся. Та же идея — сохранение углов за счет искажения расстояний — использовалась и на появившихся в XVI столетии картах, основанных на проекции Меркатора, которые представляли земную поверхность не в виде сферы, а в виде цилиндра. Сохранение углов при так называемом конформном отображении земного шара на карте в те времена было необходимо для целей навигации и помогало капитанам кораблей держать выбранный курс. Использование конформного отображения существенно упрощает расчеты, относящиеся к римановым поверхностям, делая возможным для таких поверхностей доказательство многих утверждений, недоказуемых для поверхностей, не являющихся комплексными. Наконец, римановы поверхности, в отличие от обычных многообразий, должны быть ориентируемыми, а это означает, что способ определения направлений — ориентация системы координат — не зависит от местоположения точки на поверхности. Противоположная ситуация имеет место для ленты Мёбиуса — классического примера неориентируемой поверхности, в процессе перемещения по которой направления могут меняться местами — низ становится верхом, левое — правым, направление по часовой стрелке переходит в направление против часовой стрелки.