к изменению переменной
X, а любое отношение такого вида — с одинаковым числителем и знаменателем — всегда равно 1.
Таким образом, пугающее своим видом выражение, полученное двумя абзацами выше, которое необходимо было каким-то образом проинтегрировать, чтобы получить из него длину, свелось к выражению 2/(1 — x>2). Нетрудно заметить, что когда x стремится к единице, это отношение стремится к бесконечности, и точно так же стремится к бесконечности, или, как говорят математики, расходится, и его интеграл.
Важно отметить, что из стремления к бесконечности метрических коэффициентов — в данном случае G>11 и G>22 — еще не следует, что расстояние до границы также стремится к бесконечности. Но именно это имеет место в случае метрики Пуанкаре на единичном круге. Рассмотрим внимательнее, что происходит с этими значениями при движении в направлении от центра круга с течением времени. В начальной точке, где x = 0 и y = 0, оба коэффициента, G>11 и G>22 равны 4. Однако при приближении к границе круга, где сумма квадратов x и y близка к 1, метрические коэффициенты резко возрастают, как и длины тангенциальных векторов. К примеру, когда x = 0,7 и y = 0,7, G>11 и G>22 равны 10 000. При x = 0,705 и y = 0,705 значения коэффициентов будут больше 100 000; а для x = 0,7071 и y = 0,7071 — превысят 10 миллиардов. При приближении к границе круга эти коэффициенты будут не просто возрастать, но в конце концов устремятся к бесконечности — так же, как и расстояния до границы. Если бы вы были жуком, ползущим по поверхности в направлении границы круга, то, к величайшему огорчению, вы никогда бы ее не достигли. Впрочем, вы бы ничего не потеряли, поскольку данная поверхность не имеет границы в принципе. Если поместить открытый единичный круг на плоскость, то он приобретет границу в виде единичной окружности, являющейся частью данной плоскости. Но сам единичный круг Пуанкаре границы не имеет, и любой жук, пытающийся до нее добраться, умрет, так и не осуществив своей мечты. Этот непривычный и, возможно, противоречащий интуиции факт является результатом отрицательной кривизны единичного круга, обусловленной метрикой Пуанкаре.
Мы потратили некоторое время на обсуждение понятия метрики, для того чтобы уяснить для себя сущность кэлеровой метрики и кэлерового многообразия — многообразия, оснащенного подобной метрикой. Определить, является ли та или иная метрика кэлеровой, можно, исследуя ее изменение при переходе от одной точки к другой. Кэлеровы многообразия являются подклассом комплексных многообразий, известных как