Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики (Беллос) - страница 188
Представим себе, что пьяница блуждает в трех измерениях. Назовем это «полетом одурелого шмеля». Шмель стартует из некоторой точки в трехмерном пространстве и летит в случайном направлении на фиксированное расстояние по прямой. Затем он останавливается, переводит дух и снова, жужжа, срывается с места в другом случайном направлении, пролетая то же самое расстояние. И так далее. Какова вероятность, что в конце концов он вернется в точку своего старта? Ответ: всего 0,34, то есть около трети. Не правда ли, довольно странно, что в двух измерениях возвращение пьяницы к фонарному столбу представляло собой абсолютную определенность, но еще более странно то, что шмель, жужжащий в воздухе неограниченно долго, с высокой вероятностью никогда не вернется домой.
Первый в мире пример случайного блуждания. Из книги Джона Венна «Логика шанса» (1866). Траектория задается цифрами из разложения числа π, начиная с 1415
Главный герой романа-бестселлера Люка Рейнхарта «Дайсмен» («Человек — Игральная кость») принимает жизненно важные решения, бросая игральную кость. Представим себе «Человека-монету», который принимает решения, подбрасывая монету. Если, скажем, у него выпадает орел, он передвигается на один шаг вверх по странице, а если решка — то вниз. Путь нашего Человека-монеты подобен блужданиям уже знакомого нам пьяницы, но в одном измерении, ведь он может смещаться только вдоль одной и той же прямой. Изобразим на графике случайные блуждания, описываемые вторым из двух отчетов о 30 бросаниях монеты, приведенных ранее. Получается вот что:
Блуждание изображается изломанной линией, состоящей из пиков и провалов. Если продолжить упражнение и бросать монету все большее число раз, то проявится тенденция. Линия будет «раскачиваться» вверх и вниз, причем все сильнее и сильнее. Человек-монета будет двигаться, удаляясь все дальше и дальше от начальной точки в обоих направлениях. Ниже приведены графики, которые я составил для путешествий шести Человек-монет, каждый для 100 бросаний монеты.
Если мы вообразим себе, что в одном направлении на определенном расстоянии от начальной точки стоит барьер, то окажется, что в конце концов Человек-монета уткнется в него со 100-процентной вероятностью. Неизбежность этого столкновения весьма поучительна при анализе закономерностей, связанных с играми.
Вместо того чтобы отправлять Человека-монету в путешествие в пространстве, можно использовать траекторию его движения как иллюстрацию состояния его банковского счета. А подбрасывание монеты пусть будет азартной игрой, в которую он играет. При выпадении орла он выигрывает 100 долларов, а решка означает проигрыш 100 долларов. Сумма на его счете будет колебаться — то есть вести себя подобно волнам все большей величины. Установим барьер: Человек-монета не может продолжать игру, если на его счете о долларов. Оказывается, он гарантированно наткнется на этот барьер! Другими словами, в любом случае его ждет банкротство. Этот феномен известен под экспрессивным названием