Евклид доказал в «Началах» 465 теорем, исходя всего лишь из пяти аксиом, которые приобрели широкую известность как пять евклидовых постулатов:
1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределенно.
3. Из всякого центра всяким радиусом можно описать окружность.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы меньшие, чем два прямых угла, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Когда мы добираемся до пятого постулата, закрадывается подозрение, что тут не все в порядке. Начинаются постулаты достаточно бодро. Первые четыре легко формулируются, их несложно понять и легко принять. Но что же в их компании делает пятый? Он многоречивый, сложный и не слишком самоочевидный. Да и не столь уж фундаментальный: первый раз он требуется в «Началах» в предложении 29.
Несмотря на свою любовь к дедуктивному методу Евклида, математики невзлюбили его пятый постулат; он не только посягал на их чувство прекрасного, но и заставлял подозревать, что там принимается слишком много для простой аксиомы. И действительно, в течение 2000 лет много великих умов делали попытки изменить статус пятого постулата, пытаясь вывести его из остальных постулатов и тем самым разжаловать в теорему. Но никто в этом так и не преуспел. Быть может, величайшее свидетельство гения Евклида состоит как раз в понимании того, что и пятый постулат необходимо принимать без доказательства.
Больший успех сопутствовал математикам в попытках переформулировать постулат в других терминах. Например, англичанин Джон Уоллис еще в XVII веке понял, что все, имеющееся в «Началах», можно доказать, взяв первые четыре постулата неизменными и заменив пятый постулат следующим альтернативным вариантом: если задан любой треугольник, его можно увеличить или, наоборот, сжать до любого размера таким образом, чтобы длины сторон оставались в неизменном отношении друг к другу, а углы между сторонами не менялись. Хотя осознание того, что пятый постулат можно перефразировать как утверждение о треугольниках, а не о прямых, означало глубокое проникновение в суть происходящего, это не развеяло беспокойства математиков: альтернативный постулат Уоллиса, может, и был более (хотя и не так уж) интуитивным, чем пятый постулат, но он все равно не получался столь же простым или очевидным, как первые четыре. Были открыты и другие эквиваленты пятого постулата; Евклидовы теоремы по-прежнему оставались верными, если заменить пятый постулат утверждением о том, что сумма углов треугольника составляет 180 градусов, или что верна теорема Пифагора, или что для всех окружностей отношение длины окружности к диаметру равно