Когда ты была рыбкой, головастиком - я... (Гарднер) - страница 77

Пусть А, В, С, D — четыре любых последовательных члена обобщенного ряда Фибоначчи. Тогда произведение А и D даст одно число из пифагоровой тройки [53], а удвоенное произведение В и С — другое число из той же тройки! Рассмотрим, к примеру, четыре первых члена простейшего ряда Фибоначчи — 1, 1, 2, 3. Подстановка этих чисел в наши формулы даст знакомые длины сторон прямоугольного пифагорова треугольника — 3, 4, 5. С помощью такой процедуры можно, разумеется, создать бесконечное количество пифагоровых троек, хотя, к сожалению, не всетакие триады.

Вот уравнение для четырех последовательных элементов ряда Фибоначчи:

(А × D) ^>2+ (2 × В × С) ^>2= (В ^>2+ С ^>2) ^>2

Это равенство легко доказать. Доктор Матрикс не дал ссылки на эту диковинку, однако я связался с редактором «Fibonacci Quarterly» и установил, что ее некогда опубликовал А. Хорадам в «American Mathematical Monthly» [54].

В ходе своего выступления доктор Матрикс продемонстрировал на экране старый парадокс с изменением площади (рис. 1). Перед нами квадрат площадью 64 «квадратные единицы». Если переложить четыре его части так, чтобы те составили прямоугольник, площадь неожиданно вырастет до 65 единиц! А если куски вновь переложить, как показано на рис. 2, общая площадь съежится до 63!

Отметьте, что длины в этом классическом парадоксе — 3, 5, 8 и 13, а это четыре члена ряда Фибоначчи. У этой последовательности есть известное свойство: если возвести в квадрат ее элемент, имеющий номер n, полученная величина будет равна произведению предшествующего и последующего члена ряда ±1 (т. е. членов с номерами n–1 и n+1).

В данном случае сторона квадрата — 8, площадь — 64. В ряду Фибоначчи 8 находится между 5 и 13. Следовательно, 5 и 13 автоматически становятся сторонами прямоугольника, площадь которого должна составлять 65: отсюда выигрыш в одну квадратную единицу.

Благодаря этому свойству нашего ряда мы можем построить квадрат со стороной, длина которой представляет любое число из этого ряда (больше 1), а затем разрезать фигуру в соотношении, определяемом двумя предшествующими членами ряда. Так, выбрав квадрат со стороной 13, можно разделить три из его сторон на сегменты с длинами 5 и 8, а затем провести линии разреза, как показано на рис. 3. Площадь этого квадрата — 169. Из его фрагментов можно сложить прямоугольник с длинами сторон 21 и 8, а площадь этого прямоугольника будет равна 168. Из-за своего рода «перекрывания», происходящего вдоль диагонали прямоугольника, здесь мы теряем, а не приобретаем одну квадратную единицу.