Когда ты была рыбкой, головастиком - я... (Гарднер) - страница 83

. Знаменитое доказательство Голомба начинается с рассмотрения квадрата 2×2 (рис. 3, слева). Этот квадрат затем помещается в угол квадрата 4—го порядка (рис. 3, в центре). А уже этот квадрат 4×4 располагается в углу квадрата 8-го порядка (рис. 3, справа), после чего рядом с углом зачерненного квадрата 4-го порядка укладывают одно тримино. Мы уже знаем, что зачерненный квадрат можно покрыть при отсутствии в нем любой клетки, и мы знаем, что три незачерненных области (примыкающих к нашему одиночному тримино) можно покрыть с помощью тримино, так как в каждой из них отсутствует одна клетка (угловая). Поворачивая доску [76], можно добиться того, чтобы любая клетка в зачерненном квадрате приходилась на любое место доски 8-го порядка.

Порядки 5 и 7

Далее нас ждет доска 5-го порядка, поскольку 5 — следующее число в последовательности (1), для которого мы пока не вывели доказательства. Если убрать центральную клетку, полученную фигуру можно покрыть очень аккуратно и симметрично (как показано на рис. 4. слева). Я покрыл эту доску четырьмя элементами 2×3. Каждый из них можно в свою очередь двумя различными способами покрыть двумя тримино. Покрытия 2×3 — очень полезный инструмент при решении задач с тримино. Когда недостающая клетка расположена, как показано черным на рис. 4 (средний квадрат), клетку над ней, как нетрудно убедиться, приходится покрывать с помощью тримино, примыкающего слева или справа. В любом случае у нас появятся две свободное клетки (они обозначены как 1 и 2), которые нельзя покрыть тримино. И в самом деле, квадрат 5-го порядка можно покрыть тримино, только если недостающая клетка находится в одной из позиций, обозначенных черным на рис. 4. справа. Вот вам приятное упражнение: посмотрите, удастся ли вам покрыть доску, если вырезанная клетка находится в углу.

Доску 7-го порядка анализировать гораздо труднее. Я не сумел придумать одиночную диаграмму, которая доказывала бы, что такую доску можно покрыть тримино, однако Голомб прислал мне свое неопубликованное доказательство, где он использует три диаграммы.

Его доказательство развивается так. На рис. 5 показаны три способа покрытия доски 7-го порядка. Очевидно, что при каждом таком покрытии квадрат 2×2 можно покрыть с помощью тримино, если недостающая клетка находится в любом из его четырех углов. Поворачивая эти три фигуры, можно добиться того, чтобы недостающая клетка приходилась на любое место доски.