Удовольствие от Х (Строгац) - страница 40

Давайте вернемся к наклоненному квадрату, сидящему на гипотенузе.

Интуитивно это изображение должно немного смущать. Квадрат выглядит потенциально нестабильным: кажется, что он может свалиться или съехать вниз по наклонной плоскости. А тут еще явное самоуправство: каждая из его четырех сторон хочет соприкасаться с тре­угольником.

Чтобы усмирить все стороны квадрата, поместим еще три таких же треугольника на три его оставшиеся стороны так, чтобы получилась более устойчивая и симметричная картинка.

Теперь вспомним, что мы пытаемся доказать, что наклоненный белый квадрат (большой квадрат, все еще сидящий на гипотенузе) имеет такую же площадь, как малые и средние квадраты, вместе взятые. Но где же здесь другие квадраты? Чтобы найти их, надо переместить часть тре­угольников. Представьте картинку как изображение головоломки. В углах ее жесткой рамки вставлены четыре кусочка треугольной формы.

При такой интерпретации наклоненный квадрат будет свободным пространством в середине головоломки. Оставшуюся часть внутри рамки занимают пазлы. Попробуем их подвигать. Конечно, что бы мы ни делали, мы никогда не сможем изменить общую площадь свободного пространства внутри рамки — оно всегда будет областью, лежащей вне пазлов.

После небольшого мозгового штурма переставим пазлы таким образом:

Пустое пространство неожиданно принимает форму среднего и малого квадрата, которые мы ищем. А так как общая площадь свободного пространства неизменна, вот мы и доказали теорему Пифагора!

Это доказательство дает гораздо больше, чем уверенность в правильности теоремы, — оно ее разъясняет. И именно это делает его элегантным.

Для сравнения рассмотрим еще одно доказательство. Не менее знаменитое, и, пожалуй, самое простое из тех, где не используются площади.

Как и прежде, возьмем прямоугольный треугольник со сторонами a, b и гипотенузой с, как показано ниже на рисунке слева.

Далее (как что-то подсказывает нам по божественному вдохновению или благодаря собственной гениальности) проведем перпендикуляр вниз от гипотенузы к противоположному углу, как это сделано в правом треугольнике.

Эта маленькая умная «бестия» внутри исходного треугольника создает еще два меньших треугольника. Легко доказать, что все они подобны, то есть у них одинаковая форма, но различные размеры. Что, в свою очередь, означает, что длина их соответствующих сторон имеет подобные пропорции. Это можно записать в виде следующей системы равенств:

Мы также знаем, что

c = d + e,

поскольку построенный перпендикуляр делит гипотенузу c на два меньших отрезка