Удовольствие от Х (Строгац) - страница 49

кривой вообще не было однобокости. Она выглядела абсолютно симметричной.

Он увидел почти идеальную синусоиду. Если вы проходили тригонометрию53 в средней школе, то, возможно, помните, что рассказывали о ней. Хотя не исключено, что ваш учитель больше говорил о синусоиде как об основном инструменте количественного выражения отношения между сторонами и углами треугольника. Это исходные тригонометрические определения древних астрономов и геодезистов.

Тем не менее тригонометрия, опровергая свое слишком скромное название, в настоящее время выходит далеко за рамки измерения треугольников. С помощью количественного описания круга она также проложила путь анализу всех повторяющихся с определенной частотой явлений — от океанских волн до волн головного мозга. Это ключ к математике циклов.

Чтобы увидеть, как тригонометрия соединяет круги, треугольники и волны, представьте, что маленькая девочка катается круг за кругом на колесе обозрения.

Оказывается, они с мамой интересуются математикой, поэтому решили, что такое катание — прекрасная возможность для эксперимента. Девочка взяла с собой GPS-навигатор, чтобы каждое мгновение регистрировать высоту, на которой находится: и в самой высокой точке, и при движении обратно вниз к земле, и снова, двигаясь вверх и вниз. Результаты выглядят следующим образом:

Это синусоида. Она возникает всякий раз, когда кто-нибудь или что-нибудь движется по горизонтали или вертикали и одновременно по кругу.

На уроках тригонометрии вы обсуждали, как синусоидальная волна связана с синусоидальной функцией? Ну, хорошо, допустим, мы рассматриваем снимок девочки. В запечатленный момент она находится под некоторым углом, назовем его a, по отношению к пунктирной линии на рисунке.

Отметим, что гипотенуза прямоугольного треугольника и радиус колеса обозрения имеют равную длину. Тогда sin a (читается синус a) показывает нам, на какой высоте находится девочка. Точнее, sin a определяется высотой, на которой она пребывает, измеренной от центра колеса с учетом того, что девочка находится под углом a к пунктирной линии.

По мере вращения колеса обозрения угол a будет постепенно увеличиваться и в конце концов превысит 90°, и с этого момента мы больше не сможем его рассматривать как угол прямоугольного треугольника. Означает ли это, что тригонометрию далее нельзя применять?

Нет. Испугавшись, как обычно, математики просто расширили область определения синусоидальной функции до любого угла, а не только для углов менее 90°, а затем представили sin a как высоту расположения девочки выше или ниже центра круга.