Удовольствие от Х (Строгац) - страница 55
В следующей главе мы исследуем столь удивительную связь и понятие интеграла. Но сначала, в рамках подготовительной работы, рассмотрим производные.
Производные существуют вокруг нас, даже если мы не считаем их таковыми. Например, наклон трапа является производной. Как и все производные, он измеряет скорость изменения. В данном случае — на какую высоту за шаг вы поднимаетесь или спускаетесь. Крутой подъем имеет большую производную. У наклона инвалидной коляски с незначительным перепадом она маленькая.
В каждой области практической деятельности есть собственный вариант производной. Будет ли она предельным доходом или темпом роста, скоростью или наклоном — от любого ее названия по-прежнему веет холодком. К сожалению, многие студенты, прослушав курс дифференциального исчисления, приходят к гораздо более узкому толкованию производной как синонима наклона кривой.
Такая путаница понятна и вызвана она тем, что для отображения количественных отношений мы, как правило, применяем графики. Путем графического изображения у как функции от х мы пытаемся представить, как одна переменная влияет на другую. И при этом совершенно не важно, что понимается под скоростью изменения значений на графике. Это могут быть темпы роста вирусов, скорость струи или нечто, что преобразуется в нечто другое, столь же абстрактное, но что можно изобразить как наклон кривой на графике.
Как и наклоны, производные могут быть положительными, отрицательными или равными 0, что указывает на то, что нечто увеличивается, уменьшается или выравнивается. Рассмотрим летящего по воздуху Майкла Джордана, зависшего над корзиной за секунду до одного из своих феноменальных бросков.
Сразу после прыжка его вертикальная скорость (скорость его подъема, изменяющаяся во времени [кстати, еще одна производная]) будет положительной, потому что он поднимается вверх. Высота подъема спортсмена растет. На пути вниз эта производная отрицательная. В самой верхней точке прыжка, где кажется, что Джордан завис в воздухе, а его подъем прекратился, производная равна 0. В этом смысле он действительно висит.
Здесь действует еще один общий принцип: предметы всегда изменяются медленнее в верхней и нижней точках. В Итаке это особенно заметно. В самое темное время зимы дни не только нещадно коротки, но и очень медленно растет продолжительность светового дня. Как только начинается весна, дни быстро удлиняются. Все это вполне объяснимо. Изменения наиболее вялые в крайних точках именно потому, что производная в них равна нулю. В этом случае процессы моментально успокаиваются.