Анатолий был седьмым ребёнком. Всего у нашей мамы было десять детей, девять девочек и один мальчик. В живых осталось нас трое.
Из стихотворной автобиографии А. Зверева:
…Осень, почти поздняя,
«устраивает» зимы… —
Оказался я в кругу —
— своём… —
в семействе: Тони, Зины…
Отец наш, Тимофей Иванович, родился в 1898 году в Кирсанове Тамбовской области. С трёх лет остался без родителей, которые умерли от тифа. Воспитывала его бабушка.
Мама, Житина Пелагея Никифоровна, тамбовская, из крестьянской семьи, в 17 лет вышла замуж.
Вскоре после женитьбы папа ушёл на фронт, служил у Ворошилова писарем. Затем попал в плен к Деникину, после освобождения лечился в московском госпитале. Мама продала дом и приехала в Москву, устроилась работать в этом же госпитале, где выхаживала раненых.
Отец, инвалид второй группы, работал на заводе СВАРЗ бухгалтером, мама — на фабрике «Буревестник», но больше ей приходилось заниматься домашним хозяйством.
В январе 1943 года отец умер. Как могла, мама одна нас вырастила, за что мы её все очень любили.
Анатолий учился в школе № 370. Любимыми его предметами были рисование и немецкий язык. Николай Васильевич Синицын — учитель рисования — был для Анатолия лучшим человеком, дружба между ними продолжалась всю жизнь.
После семилетки, по совету Н. В. Синицына, Толя закончил Художественное ремесленное училище по специальности маляр-альфрейщик. Затем пробовал учиться в Художественном училище памяти 1905 года, но при бедственном материальном положении, из-за «внешнего вида», был отчислен с первого курса. Тяга же заниматься живописью, рисованием не покидала Анатолия. Немного поработал в должности маляра в парке «Сокольники». Детский городок оживился от причудливых животных, ярких цветов, которые рисовал Анатолий. В парке его заметил артист Румнев, Анатолий показал ему свои работы. Восхищённый его рисунками, Румнев познакомил его со столичными знатоками живописи, которые оценили талант Анатолия.
В 19 лет Анатолия призвали на военную службу, во флот. Там он простудился, пролежал в госпитале с двусторонним воспалением лёгких, после чего был комиссован.
После возвращения из армии вновь занимался только рисованием, живописью, графикой. Ходил по музеям, в зоопарк, уезжал на этюды в Подмосковье. В сутки спал иногда два-три часа, а остальное время работал. За работы брал мизерную плату — хватало лишь на краски, кисти. Но вскоре выпал случай познакомиться с Георгием Дионисовичем Костаки.
Костаки был потрясён картинами Анатолия, стал ему помогать, пригласил рисовать на свою дачу (в шестнадцатиметровой комнате, в которой жили шесть человек, работать было невыносимо трудно).