Как же общая теория относительности описывает природу пространства? Она показывает, как материя и энергия Вселенной влияют на расстояния между ее точками. Пространство, рассматриваемое как множество, есть попросту собрание некоторых элементов – точек. Структура пространства, которую мы называем геометрией, возникает из соотношений между точками, и эти соотношения именуются расстояниями. Привнесенная структура соотносится с исходной так же, как, скажем, телефонная книга со списком домов и карта, определяющая их пространственные связи. Занимаясь картографированием Германии, Гаусс обнаружил, что, определив расстояние между парой точек, можно установить геометрию пространства, а Риман привнес в это наблюдение детали, необходимые Эйнштейну для формулировки его физики в геометрических терминах.
В сухом остатке все сводится к спору двух наших старых друзей – Пифагора и Непифагора. Вспомним, что в евклидовом мире можно померить расстояние между любыми двумя точками, применив теорему Пифагора. Мы попросту накладываем прямоугольную координатную сетку. Назовем координатные оси «восток – запад» и «север – юг». Согласно теореме Пифагора, квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов разницы между их положениями относительно оси восток – запад и север – юг.
Как установила Неевклида, в искривленном пространстве это соотношение недействительно. Пифагорову формулу необходимо заменить новой – непифагоровой. В непифагоровой формуле для вычисления расстояний значения разницы вдоль оси север – юг и вдоль оси восток – запад не обязательно считаются одинаково. Более того, возможно, появится и еще одно значение – продукт разнесенности север/юг и восток – запад. Математически говоря, получается: (расстояние)2 = g 11 х (разнесенность восток – запад)2 + + g 22 х (разнесенность север – юг) + g 12 x (разнесенность восток – запад) х (разнесенность север – юг) [242] . Числа, обозначенные через g, называются метрикой пространства (а сами факторы g называются компонентами метрики). Поскольку метрика определяет расстояние между двумя точками, она, геометрически говоря, полностью характеризует пространство. Для евклидовой плоскости и прямоугольных координат компоненты метрики попросту g 11 = g 22 = 1, а g 12 = 0. В этом случае формула Непифагора превращается в обычную пифагорову. В других типах пространства компоненты не так просты, и их значения могут варьировать в зависимости от вашего местоположения. В общей теории относительности эти представления обобщены для трех пространственных измерений и, как и в специальной теории, включают время как четвертое измерение (в четырехмерном пространстве метрика имеет десять независимых компонентов) [243] .