, но располагаются они по обе стороны от оси
у : допустим, одна лежит на два единичных отрезка правее, а другая – на два единичных отрезка левее. Поскольку обе точки расположены на один единичный отрезок выше оси
х и обе – в двух единичных отрезках от оси
у , в соответствии с нашим рассуждением обе можно описать парой координат (2, 1).
Такая же неоднозначность возникает в почтовых адресах. Могут ли два человека, проживающие по адресу 80-я улица, 137, задрать нос и заявить: «Да я б никогда в том районе жить не стал». Отчего бы и нет? «Вестсайдская история» и «Истсайдская история» – однозначно две разные истории [118] . Математики избавляются от этой неоднозначности в координатах в точности так же, как градостроители – в почтовых адресах, с той лишь разницей, что первые используют знаки «плюс» и «минус», а вторые приписывают к адресу «восточный»/«западный» или «северный»/«южный». Математики подрисовывают знак «минус» к координате х всех точек, размещающихся левее оси у (т. е. «восточной стороне» – «истсайду»), и к координате у всех точек, расположенных ниже оси х (т. е. «южной стороне», или «саутсайду»). В нашем случае у первой точки координаты останутся без изменений – (2, 1), а у второй станут такие: (– 2, 1). Мы делим плоскость на четыре четверти (квадранта) – северо-восточная, северозападная, юго-восточная и юго-западная. У всех точек в «южном» квадранте значение координаты у отрицательное, а у всех точек в «западном» отрицательно значение координаты х . Эту систему обозначения принято называть декартовыми координатами. (На самом деле примерно тогда же аналогичное открытие сделал Пьер Ферма, однако если за Декартом водилась дурная привычка ни на кого не ссылаться в своих публикациях, Ферма имел худшую склонность – не публиковать свои работы вообще.)
Ясное дело – и мы в этом уже убедились – применения координат как таковых новинкой не было. Птолемей еще во II веке использовал систему координат в своих картах [119] . Но работы Птолемея сводились исключительно к географии. Никакого другого значения – помимо приложимости к земному шару – он в них не видел. Подлинное новаторство идей Декарта применительно к координатам состояло не в них самих, а в том, что́ Декарту удалось из них извлечь.
Изучая классические греческие кривые, манеру определения которых Декарт столь глубоко презирал, он, тем не менее, обнаружил удивительные закономерности. Например, он изобразил несколько прямых и выяснил, что для любой прямой координаты х и у любой точки на ней всегда связаны простым отношением. Алгебраически эту связь можно выразить уравнением вида