Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор (Петров) - страница 60
Но каково свободное движение тела, если пространство-время искривлено? Здесь разумно снова вернуться к СТО и первому закону Ньютона. В инерциальной системе отсчета такие тела движутся прямолинейно и равномерно. В искривленном пространстве аналогом прямых линий являются геодезические.
Рис. 6.1. Движение искривленном пространстве
Их теория подробно разработана математиками XIX века. Основной вклад внес немецкий математик Бернхард Риман (1826–1866). В искривленном пространстве нет параллельных линий в понимании Евклида, сумма углов треугольника не равна 180°. Для примера рассмотрим поверхность Земли – это сфера, которая является 2-мерным пространством положительной кривизны. Что такое геодезическая на поверхности Земли? Это не прямая линия на карте, а дуга большого круга, который проходит через центр Земли (рис. 6.2). Именно с помощью такой дуги определяется кратчайшее расстояние между двумя точками на Земле. Сумма углов треугольника на поверхности Земли оказывается больше 180°.
Рис. 6.2. Линии кратчайшего расстояния на сфере
Снова вспомним, что в релятивистской теории пространство и время не рассматриваются (не существуют) раздельно. Поэтому разумно рассматривать не траектории тел, а их мировые линии на пространственно-временной диаграмме. Инерциальному движению в плоском пространстве-времени соответствуют мировые линии, которые тоже прямые. А каковы мировые линии в искривленном пространстве-времени? Опираясь на слабый принцип эквивалентности, Эйнштейн предложил принцип движения по геодезическим. Он звучит в одном из определений так: если нет других воздействий, кроме гравитационного, то тело движется свободно, по инерции, его мировая линия в пространстве-времени является геодезической. Геодезические линии, соответствующие мировым линиям физических тел, скорость которых меньше скорости света, оказываются линиями наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, жестко связанными с телом. Вспомним, что при обсуждении «парадокса близнецов» мы уже установили, что максимальное собственное время, требуемое для перемещения в плоском пространстве из одной мировой точки в другую, соответствует движению по прямой. Современные эксперименты подтверждают движение тел по геодезическим линиям с такой же точностью, как и равенство гравитационной и инертной масс. Отметим, что часто слабый принцип эквивалентности и принцип движения по геодезическим не разделяют.
Обсудим слабый принцип эквивалентности. Свободное движение какого-либо тела по инерции в поле тяготения является обобщением свободного движения в инерциальной системе отсчета в пространстве Минковского. Для такого движения взаимные ускорения всех