Греческое решение проблемы измерения опиралось на стержневое определение «пропорции», приписываемое Евдоксу. В «Элементах» Евклида это знаменитое определение приводится пятым в пятой книге. Мы процитируем его в классическом варианте, чтобы иллюстрировать раннее свидетельство, как смутные предположения проникают незамеченными в математику, несмотря на предельную осторожность и желание не допустить этого. Сначала мы обращаем внимание, что «многократная» величина – вполне признанная и законная концепция: если «множитель» натуральное число m, m-кратное величины A получается, если отмерить число A m раз на линии достаточной длины. Если линия недостаточно длинна, ее можно увеличить – удлинить, пока ее длина не станет достаточной. Греческие геометры заметили необходимость включения (в качестве постулата) возможности удлинения линии до любой конечной длины и сделали это. Немного удивляет, что они упустили бесконечно большую нужду в объяснении понятия «то же самое отношение». «Первая из четырех величин считается имеющей «то же самое отношение» ко второй, что и третья к четвертой, когда берутся любые множители первой и третьей величины, и любые множители второй или четвертой величины, то кратная величина третьей величины больше, равна или меньше, чем кратная величина четвертой, соответственно, как и кратная величина первой больше, равна или меньше кратной величины второй величины». Это объясняет значение словосочетания «то же самое отношение» или «пропорционально», из чего появляется «пропорция» как простое вербальное определение. «Если первая из четырех величин имеет то же самое отношение ко второй, что и третья к четвертой, все четыре величины называются пропорциональными, или членами пропорции».
Такой была формулировка, по которой многие поколения школьников пытались воспринять элементарную геометрию до тех пор, пока «Элементы» Евклида в качестве школьных учебников не были отвергнуты. Для нашей цели нет необходимости переводить определение во вразумительную и легко воспринимаемую форму в символике, общепринятой сегодня. Но, даже не воспринимая смысла, а просто перечитывая это определение, как какое-нибудь упражнение по чтению, легко заметить, что за словами в дважды повторяемой фразе «любые числа, имеющие общие множители» прячется грандиозное предположение. «Числа с общими множителями» двух величин означает «одинаково кратные», например три или восемь раз взятая каждая из величин. Чтобы установить, находятся ли четыре величины в пропорции («любые» из определения), требуется проверить все пары чисел с общими множителями. Когда таких пар бесконечность, такая проверка выше человеческих сил. Но разве это возражение существенно? Не для тех, кто способен вообразить себя выполняющими бесконечное количество умножений и сравнений результатов, как то требуется по определению. Какая крайность более рациональна – вопрос спорный, если только не должно оказаться, что один или другой не вступает в противоречие своим преимуществом. Но определение обнаруживает, что в попытке избежать ловушек «числа» и обращаясь к геометрически (или визуально) интуитивной концепции «величины» мы теряем себя в той же самой бесконечности, как и прежде.