В дополнение к предоставлению оснований «для почти всех теорий пространства, времени и бесконечности» от Зенона до Рассела парадоксы Зенона доказали наибольшую значимость для логики XX века, особенно в той части, что вытекает из признания бесконечных чисел в математике. Как отмечает Рассел, долго разыскиваемая дорога к конечному в 1914 году была прямой и ясной: «Из этого следует, что, если нам суждено разрешить весь класс противоречий, вытекающих из Зенона по аналогии, мы должны создать какую-нибудь надежную теорию бесконечных чисел. В чем же состоят противоречия, которые до последних тридцати лет вели философов к уверенности, что бесконечные числа невозможны? Противоречия делятся на два вида, первый из которых сродни мнимым, в то время как прочие вовлекают для их разрешения до определенной степени новое и нетрадиционное мышление.
Мнимые противоречия – это противоречия из числа тех, что предполагает этимология, и тех, что возникают из смешивания математической бесконечности и того, что философы дерзко именуют «истинной» бесконечностью».
К этому может быть добавлено, что математические логики (которые, несомненно, образуют особую разновидность, хотя, возможно, и представлены весьма скромно среди философов) начиная с 1914 года сочли необходимым проявлять «новое и нетрадиционное мышление» в отношении «теории бесконечных чисел» в надежде придать ей «убедительность». В процессе их размышлений они выявили несколько новых парадоксов логики, которые могли бы оказаться мнимыми, но которые тем не менее подсказали, что в дедуктивном мышлении существует больше ловушек и открытых ям, о которых Фалес и даже Платон никогда и не мыслили. Новые парадоксы теперь больше похожи на естественные следствия из эволюции математической логики, начатой самим Расселом в 1902 году. К некоторым еще вернемся в нужном месте.
Отчасти неугасаемые парадоксы Зенона были представлены в данной главе только для того, чтобы подсветить оледенелую вершину всех видов философии чисел, конечного и бесконечного, теории идеального числа, какой видел ее Платон в свои зрелые годы. Мы постараемся поймать отблеск неизменяемой реальности, которую он описал, после того как узнаем, каким человеком он был.
Глава 18
Политика и геометрия
«В любые времена в мире найдется не более дюжины человек, которые читали и поняли Платона, и никогда нет достаточно средств на издание его работ, хотя вопрос об этом встает перед каждым поколением ради этих нескольких человек, на случай если их пошлет Бог».
Такого мнения придерживался трансценденталист из Конкорда Ральф Вальдо Эмерсон. Он мог бы добавить, что в любые времена найдется не более двух человек из этой дюжины, полностью согласных с прочитанным и понятым. Нет необходимости продолжать, что каждый из них по-своему понял Платона. Там, где какая-то абстрактная универсальная доктрина порождает множественность восприятия, неудивительно, что равные по образованию читатели интерпретируют смысл написанного Платоном по-разному. К счастью для наших сегодняшних целей, Платон неоднократно и категорично говорил о том, что арифметика и геометрия значат для него и как они влияют на его философию. Поскольку нас касается только эта единственная часть его системы, разумно предположить, что мы верно поняли значение сказанного им.