Квантовая механика I (Фейнман) - страница 27

(где теперь уже k может быть и положительным, и отрицательным), то тогда окажется вдвое меньше. (Все интегралы теперь нужно будет брать от k=-Ґ до k =+Ґ, и общее число состояний вплоть до любого заданного абсолютного значения k получится таким, как надо.) Конечно, стоячие волны мы тогда не сможем хорошо описывать, но подсчет типов колебаний бу­дет идти согласованно.

Теперь наши результаты мы обобщим на три измерения. Стоячая волна в прямоугольном ящике должна обладать целым числом полуволн вдоль каждой оси. Случай двух измерений дан на фиг. 2.9.

Фиг. 2.9. Типы стоячих волн в двух измерениях.

Каждое направление и частота волны описываются вектором волнового числа k. Его х-, у- и z-компоненты должны удовлетворять уравнениям типа (2.34). Стало быть, мы имеем

Число типов колебаний с k_>xв интервале Dk_>x, как и прежде, равно

то же и с Dk_>y, и с Dk_>z. Если обозначить через

(k) число таких типов колебаний, в которых векторное волновое число k обладает х-компонентой в интервале от k_>xдо k_>x+Dk_>x, у-компонентой в интервале от k_>yдо k_>y+Dk_>y и z-компонентой в интервале от k_>zдо. k_>z +Dk_>z, то

Произведение L_>x L_>y L_>z — это объем V ящика. Итак, мы пришли к важному результату, что для высоких частот (длин волн, меньших, чем габариты полости) число мод (типов колебаний) в полости пропорционально ее объему V и «объему в k-пространстве» Dk_>хDk_>yDk_>z. Этот результат то и дело появляется то в од­ной, то в другой задаче, и его стоит запомнить:

Хоть мы этого и не доказали, результат не зависит от формы

ящика.

Теперь мы применим этот результат для того, чтобы найти число фотонных мод для фотонов с частотами в интервале Dw. Нас интересует всего-навсего энергия разных собственных ко­лебаний, а не направления самих волн. Мы хотим знать число собственных колебаний в данном интервале частот. В вакууме величина k связана с частотой формулой

|k| =w/c. (2.39)

Значит, в интервал частот Dw попадают все моды, отвечающие векторам k, величина которых меняется от k до k+Dk незави­симо от направления. «Объем в k-пространстве» между k и k+Dk — это сферический слой, объем которого равен

4pk^>2Dk.

Количество собственных колебаний (мод) тогда равно

Однако раз нас интересуют частоты, то надо подставить k=w/c, и мы получаем

Но здесь возникает одно усложнение. Если мы говорим о собственных колебаниях электромагнитной волны, то каж­дому данному волновому вектору k может соответствовать любая из двух поляризаций (перпендикулярных друг другу). Поскольку эти собственные колебания независимы, то нужно (для света) удвоить их число. И мы имеем