Если мы знаем эти условия (мы их описываем, задавая электрическое и магнитное поля), то можем полностью определить поведение частицы, нимало не заботясь после о том, что именно создало эти условия.
Иными словами, если бы эти прочие заряды каким-то образом изменились, а условия в Р, описываемые электрическим и магнитным полем в точке Р, остались бы прежними, то движение заряда тоже не изменилось бы. «Реальное» поле тогда есть совокупность чисел, заданных так, что то, что происходит в некоторой точке, зависит только от чисел в этой точке и нам больше не нужно знать, что происходит в других местах. Именно с таких позиций мы и хотим выяснить, является ли векторный потенциал «реальным» полем.
Вас может удивить тот факт, что векторный потенциал определяется не единственным образом, что его можно изменить, добавив к нему градиент любого скаляра, а силы, действующие на частицы, не изменятся. Однако это не имеет ничего общего с вопросом реальности в том смысле, о котором мы говорили, К примеру, магнитное поле как-то меняется при изменении относительного движения (равно как и Е или А). Но нас нисколько не будет заботить, что поле можно изменять таким образом. Нам это безразлично; это никак не связано с вопросом о том, действительно ли векторный потенциал—«реальное» поле, пригодное для описания магнитных эффектов, или же это просто удобный математический прием.
Мы должны еще сделать кое-какие замечания о полезности векторного потенциала А. Мы видели, что им можно пользоваться в формальной процедуре расчета магнитных полей заданных токов, в точности как j может применяться для отыскания электрических полей. В электростатике мы видели, что j давалось скалярным интегралом
(15.22)
Из этого j мы получали три составляющих Е при помощи трех дифференцирований. Обычно это было легче, чем вычислять три интеграла в векторной формуле
(15.23)
Во-первых, их три, а во-вторых, каждый из них вообще-то немного посложнее, чем (15.22).
В магнитостатике преимущества не так ясны. Интеграл для А уже сам по себе векторный:
(15.24)
т. е. здесь написаны три интеграла. Кроме того, вычисляя ротор А для получения В, надо взять шесть производных и расставить их попарно. Сразу не ясно, проще ли это, чем прямое вычисление
(15.25)
В простых задачах векторным потенциалом часто бывает пользоваться труднее, и вот по какой причине. Предположим, нас интересует магнитное поле В в одной только точке, а задача обладает какой-то красивой симметрией. Скажем, нам нужно знать поле в точке на оси кольцевого тока. Вследствие симметрии интеграл в (15.25) легко возьмется и вы сразу получите В. Если бы, однако, мы начали с А, то пришлось бы вычислять В из