Далее Архимед доказывает семь теорем, первые три из которых разъясняют смысл сформулированных выше предпосылок. Так, теорема III гласит: «Неравные тяжести будут уравновешиваться на неравных длинах, причем большая тяжесть на меньшей длине»>{28}.
В теореме IV определяется центр тяжести системы двух тел: «Если две равные величины не имеют одного и того же центра тяжести, то для величины, составленной из обеих этих величин, центром тяжести будет середина прямой, соединяющей центры тяжести этих величин»>{29}.
В теореме V Архимед применяет этот метод к системе трех тел, расположенных так, что центр тяжести среднего из них находится в середине отрезка, соединяющего центры тяжести крайних. Согласно этой теореме, центр тяжести такой «составной величины» совпадает с центром тяжести среднего тела.
Особо можно выделить теоремы VI и VII, в которых формулируется и доказывается основной закон рычага.
Теорема VI формулируется следующим образом: «Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые обратно пропорциональны их тяжестям»>{30}.
В теореме VII закон равновесия рычага распространяется на случай несоизмеримых фигур. В теореме I второй книги трактата этот закон распространяется на случай криволинейных квадрируемых фигур.
Помимо указанных выше принципов Архимед пользуется в ходе доказательств еще одним, который, однако, в числе исходных предпосылок явно не фигурирует. Этот принцип можно сформулировать следующим образом: равновесие рычага не нарушится, если груз, подвешенный в точке А рычага, заменить двумя равными грузами половинного веса, точки подвеса которых расположены симметрично относительно точки подвеса замещаемого груза. Это положение мы будем называть принципом замещения. Хотя в ходе доказательств принцип замещения Архимед применяет с достаточной отчетливостью, однако он оградил бы свое сочинение от упреков самых требовательных критиков, если бы поставил его в число своих исходных предпосылок.
Заметим также, что аксиомы Архимеда являются первым существенным шагом в развитии понятия момента силы. Архимед с достаточной ясностью отмечает, что действие подвешенного груза на рычаг пропорционально его весу и расстоянию точки подвеса от точки опоры рычага. Оставалось лишь найти форму этой зависимости — и Архимед ее нашел. Он доказал, что действие подвешенного груза на рычаг прямо пропорционально величине груза и расстоянию точки приложения от неподвижной опоры рычага.
«Вникнув в сущность архимедовых аксиом, — писал академик А.Н. Крылов, — мы видим, что он ввел здесь новый элемент, производящий движение, именно произведение силы на ее расстояние до точки опоры, — то, что было впоследствии названо моментом силы и что производит вращательное движение тела»