Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике (Арталь, Салес) - страница 33

с процентной ставкой i, выданному на n расчетных периодов (лет), нужно использовать формулу суммы геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число начиная со второго получается из предыдущего умножением его на определенное число r, которое называется знаменателем прогрессии. Так, последовательность чисел а_>1, а_>2, а_>3, а_>4…, а_>n-1, а_>n (индекс обозначает порядковый номер: первый член последовательности обозначается цифрой 1, последний — n) является геометрической прогрессией тогда, когда для данного знаменателя r выполняется соотношение: а_>2= а_>1∙r, а_>3 = а_>2∙r, …, а_>n = а_>n-1∙r, так, что r = а_>n/а_>n-1. Выразив члены геометрической прогрессии через ау получим:

a_>1 = a_>1

a_>2 = a_>1∙r

a_>3 = a_>1∙r^>2

……

a_>n = a_>1∙r^>n-1

Сумма этой геометрической прогрессии S_>n равна:

S = а_>1 + а_>2 + а_>3  + … + а_>n-1 + а_>n  (1)

Если умножить обе части равенства (1) на знаменатель r, получим:

r∙S_>n = r∙(а_>1 + а_>2 + а_>3  + … + а_>n-1 + а_>n) = r∙а_>1 + r∙а_>2+ r∙а_>3 + … + r∙а_>n-1+ r∙а_>n

r∙S_>n = а_>2 + а_>3 + … + а_>n + r∙а_>n (2)

(если мы умножим данный член прогрессии а_>i на знаменатель r, получим следующий член, а_>i+1, так как а_>i+1 = r∙а_>i).

Вычтя из равенства (2) равенство (1), то есть r∙S_>n — S_>n, получим:

r∙S_>n — S_>n = — а_>1 + r∙а_>n; S_>n∙(r — 1) = r∙a_>n — a_>1,

откуда

(3)

Это формула суммы геометрической прогрессии. Учитывая, что а_>n = a_>1∙r^>n-1 и подставив это равенство в (3), имеем:

Вот еще одна форма записи суммы геометрической прогрессии:

(4)

Для кредита с аннуитетным платежом а сроком n лет и процентной ставкой i будущая стоимость капитала С_>n, выплаченная в виде суммы платежей а за n расчетных периодов, будет равна:

С_>n  = a∙(1 + i)^>0 + a∙(1 + i)^>1+… + a∙(1 + i)^{> n-2}+ a∙(1 + i)^{> n-1}= a + a∙(1 + i)^>1 + … + a∙(1 + i)^>n-2+ a∙(1 + i)^>n-1

Результат является суммой геометрической прогрессии, первый член которой равен а, знаменатель — (1 + i).

Применив формулу (4) суммы геометрической прогрессии, получим

(5)

Учитывая, что С_>n= C_>0∙(1 + i)^>n, и подставив это значение в (3), имеем:

Перенеся переменную а, обозначающую сумму аннуитетного платежа, в левую часть, получим формулу для расчета суммы аннуитетного платежа по кредиту:

(6)

где С_>0  — сумма кредита.

* * *