Ньютон. Закон всемирного тяготения. Самая притягательная сила природы (Дуран Гуардено) - страница 42

Средняя скорость

Чтобы посчитать мгновенную скорость в первую секунду, достаточно приравнять h к нулю. Но тогда, как и ранее, мы получим не имеющий смысла результат:

Мгновенная скорость в момент времени 1 =

Это происходит потому, что мгновенная скорость соответствует значению производной функции, которая измеряет расстояние s(t) = sqrt(t) при t = 1.

Предыдущая таблица показывала, что значение этой производной должно быть 0,5. Теперь посмотрим как, используя предыдущее выражение, мы можем выполнить кажущееся бессмысленным деление на ноль и получить ожидаемое значение:

Средняя скорость

Далее умножаем числитель и знаменатель на sqrt(1+h) + 1 и сокращаем:

Средняя скорость

Если в этом выражении мы приравняем значение h к нулю, задача меняется, и при h = 0 отсутствует деление на ноль. Как и подсказывала таблица, частное при h = 0 составляет 0,5. В физических терминах это означает:

Мгновенная скорость в момент времени

Таким образом, от бессмысленного деления нуля на ноль мы пришли к заключению, что если тело проходит sqrt(t) метров за t секунд, то за 1 секунду оно движется со скоростью:

Другое базовое понятие анализа бесконечно малых – интеграл. Он применяется для измерения площади графика функции.

Пусть у нас есть функция ƒ, определенная между числами a и b, тогда интеграл . символ интеграл^>b_>a^>ƒ(t)dt есть площадь образованной функцией фигуры. Символ символ интеграл для записи интеграла ввел Лейбниц, он является стилизацией буквы s – первой буквы слова «сумма». Почему выбор Лейбница пал именно на нее, мы увидим позже.

РИС.1

Понятие интеграла гораздо более объемное, чем понятие площади. В математике его можно использовать, чтобы рассчитывать объем, длину или центр тяжести, а в физике он соответствует понятию работы: работа, необходимая, чтобы переместить тело, на которое воздействует сила ƒ, между положениями a и b, равна символ интеграл^>b_>aƒ(t)dt.

Интеграл также необходим для расчета расстояния, пройденного телом, если известен закон его движения (скорость).

Производную и интеграл связывает основная теорема анализа, согласно которой интегрирование обратно дифференцированию. Ньютон называл анализ расчетом флюксий, а мы знаем его как дифференциальное исчисление – это название предложил Лейбниц, второй изобретатель анализа бесконечно малых. Ньютон же считал интегральный анализ обратным анализу флюксий и никогда не стремился дать ему собственное наименование.

Давайте проанализируем простую физическую задачу: какое расстояние прошло тело за 4 секунды от начала движения, если к t секундам оно двигается со скоростью t² метров в секунду? Это соответствует функции v(t) = t² , которую мы уже рассматривали, и ответ равен