Красота в квадрате (Беллос) - страница 101
Математическое украшение: цепная кривая
Семья Бернулли, первоначально обитавшая в Антверпене, скрывалась от преследований протестантов испанскими католическими властями. В начале XVII века торговцы специями Бернулли обосновались в швейцарском городе Базеле. Якоб, родившийся в 1654 году, был первым математиком в семье, которой предстояло стать великой династией ученых в разных областях науки. За три поколения восемь представителей семьи Бернулли заслужили звание выдающихся математиков, причем каждый сделал открытие, названное его именем. Якобу, изучавшему сложный процент, наибольшую известность принесла первая крупная работа по теории вероятности. По словам одного историка, он был «своевольным, упрямым, агрессивным, мстительным, одолеваемым чувством неполноценности, но все же твердо убежденным в своей уникальности» [6]. Из-за этого у него часто возникали конфликты с Иоганном, который был на тринадцать лет младше, но имел такой же скверный характер. Иоганн очень гордился тем, что ему удалось решить задачу о цепной кривой, и впоследствии с удовольствием вспоминал этот эпизод: «Усилия моего брата оказались тщетными; мне же повезло больше, поскольку у меня хватило способностей (я говорю это без хвастовства — с какой стати мне скрывать правду?), чтобы решить эту задачу» [7]. А еще он прибавил: «Надо признать, это стоило мне поисков, которые отняли всю ночь…» Всего одна ночь на решение задачи, с которой его брат не смог справиться за год? Вот это да! Со своими сыновьями Иоганн соперничал не меньше, чем с братом. Когда Французская академия наук присудила Иоганну премию вместе с его средним сыном Даниилом, он так болезненно воспринял это, что запретил сыну появляться в фамильном доме.
Как оказалось, у кривой, сущность которой так страстно стремился определить Якоб Бернулли, есть тайный ингредиент — e, число, открытое Якобом в другом контексте.
В современной системе обозначений уравнение цепной кривой выглядит так:
где a — это константа, от которой зависит масштаб кривой. Как показано на рисунке ниже, чем больше значение a, тем дальше друг от друга находятся концы кривой.
Графики цепной линии 
Если в уравнении цепной линии a = 1, то кривая имеет следующий вид:
Посмотрите внимательно на это уравнение: его член e>x отображает чистый экспоненциальный рост, а член e>–x — чистый экспоненциальный спад. Уравнение суммирует эти два члена и делит полученный результат на два, а это хорошо всем знакомая арифметическая операция — именно так мы должны сделать, чтобы найти среднее арифметическое этих двух значений. Другими словами, цепная линия — это среднее кривых экспоненциального роста и экспоненциального спада, как показано на рисунке ниже. Каждая точка такой U-образной кривой находится ровно посредине между двумя экспоненциальными кривыми.