Красота в квадрате (Беллос) - страница 105

! читается как «n-факториал».

Факториалы начинаются так:

(0! = 1 по соглашению)

1! = 1

2! = 2 × 1 = 2

3! = 3 × 2 × 1 = 6

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

…

10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3 628 800

…

Факториалы растут очень быстро. К тому времени, когда мы получим 20!, значение будет исчисляться квинтиллионами. Возможно, немецкие математики XIX века решили использовать для этой операции восклицательный знак потому, что именно так хотели продемонстрировать феноменальную скорость роста факториала. В некоторых английских текстах того времени предлагалось даже обозначать n! как «n-изумление», а не «n-факториал». Безусловно, восходящая траектория восклицательного знака действительно способна вызывать сплошное изумление: факториал опережает даже экспоненциальный рост.

Факториалы чаще всего применяются в процессе расчета комбинаций и перестановок. Например, сколько существует способов рассадить определенное количество людей на таком же количестве стульев? Разумеется, один человек может сесть на одном стуле только одним способом. Когда есть два человека и два стула, появляется два варианта выбора, две перестановки — AB и BA. В случае трех человек и трех стульев таких способов уже шесть: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB и CBA. Однако вместо перечисления всех возможных перестановок можно использовать общий метод поиска результата. У первого человека есть три варианта выбора стульев, у второго — два, у третьего — один; следовательно, общее количество вариантов равно 3 × 2 × 1 = 6. Применив этот же метод к четырем людям и четырем стульям, мы найдем общее число вариантов так: 4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24. Другими словами, при наличии n людей и n стульев количество перестановок составляет n! Поражает то, что если вы устроите ужин для десяти человек, вы сможете рассадить их за столом более чем тремя с половиной миллионами способов.

Но давайте вернемся к числу e. Эту экспоненциальную константу можно записать с помощью целой кучи восклицательных знаков. Боже мой!!! Вот это да!!! Оказывается, если вычислить значение

! для каждого числа, начиная с 0, а затем подсчитать сумму всех членов этого ряда, то в результате получится число e.

В виде равенства это можно записать так:

Что эквивалентно следующему:

Начнем подсчитывать сумму член за членом:

1

2

2,5

2,6666…

2,7083…

2,7166…

Этот ряд приближается к истинному значению числа e со сверхзвуковой скоростью. Всего после десяти членов ряда значения совпадают с точностью до шести десятичных знаков, что весьма неплохо практически для всех научных целей.

Почему число