Красота в квадрате (Беллос) - страница 106

так красиво выражается в виде факториалов? Как мы видели в случае со сложным процентом, оно представляет собой предел (1 + )^>n, когда n приближается к бесконечности. Я избавлю вас от деталей доказательства, но выражение (1 + )^>n можно записать в виде огромной суммы дробей с единицей в числителе и факториалом в знаменателе.

Эйлер был большим поклонником занимательной математики и с интересом изучал математические игры и головоломки. Например, когда один любитель шахмат спросил, может ли конь пересечь доску так, чтобы попасть на каждую клетку только один раз, прежде чем вернуться в исходную позицию, Эйлер отыскал способ, как это сделать, что избавило от решения подобных вопросов до настоящего времени. Внимание Эйлера привлекала также французская карточная игра jeu de rencontre — игра в совпадения (разновидность одной из моих любимых детских игр под названием Snap!).

Суть игры в совпадения состоит в том, что два игрока (А и Б) тасуют каждый свою колоду карт, а затем одновременно переворачивают первую карту в своих колодах и продолжают делать это до тех пор, пока не закончатся карты. Если в ходе переворачиваний появляются одинаковые карты, выигрывает игрок А. (И я кричу: «Snap!») Если совпадений до самого конца нет, побеждает игрок Б. Эйлера интересовала вероятность того, что победителем окажется игрок А, другими словами, что за 52 раза встретится хотя бы одно совпадение.

За долгие годы этот вопрос возникал неоднократно, хотя и в разных ситуациях. Например, представьте себе, что гардеробщик не выдает номерки на те вещи, которые люди сдают в гардероб в течение вечера. Какова вероятность того, что хотя бы один человек получит свое пальто назад? Или возьмем такой пример. Кинотеатр продает билеты с указанием мест, но затем публике разрешают занимать любое свободное место. Если зал кинотеатра заполнен, какова вероятность того, что хотя бы одно место займет человек, на билете которого указан номер этого места?

Эйлер начал с самого начала [9]. Если в игре в совпадения колода карт каждого из игроков состоит из одной карты, то вероятность совпадения будет 100 процентов. Если в колоде два карты, вероятность равна 50 процентам. Эйлер составил таблицы перестановок для игр с колодами из трех и четырех карт и только после этого вывел закономерность. Вероятность совпадения карт при n картах в колоде рассчитывается по такой формуле:

Но посмотрите внимательно: эта закономерность напоминает представленный выше ряд для числа e.

Я опущу детали доказательства, но этот ряд действительно приближается к (1 –