Во времена Евклида древние греки уже использовали систему счисления, основанную на египетском иератическом письме: 27 числам соответствовали 27 различных символов — букв греческого алфавита [9]. Например, число 444 записывалось как υµδ, поскольку символом υ обозначалось число 400, символом µ — 40 и δ — 4. Дроби описывались словами, скажем, «одиннадцать частей в восьмидесяти трех» или отображались в виде простых дробей с числителем и знаменателем, во многом напоминавших современную форму, такую как
, хотя у греков сохранилось исторически сложившееся пристрастие к единичным дробям. Египетская и греческая системы представления чисел не годились для астрономии, поскольку для отслеживания движения планет необходимо рассчитывать малейшие доли углов, а простые и единичные дроби слишком громоздки для этого.
В Месопотамии, однако, применялась гораздо более гибкая система представления чисел. В Вавилоне использовалась позиционная система счисления, в которой значение каждой цифры зависело от ее позиции в числе. Современная числовая система — это десятичная позиционная система счисления. Например, в числе 123 цифра 3 находится в разряде единиц, цифра 2 — в разряде десятков и цифра 1 — в разряде сотен. Большим преимуществом позиционной системы счисления является то, что с ее помощью можно записывать дроби. В нашей системе счисления такие дроби называются десятичными. Например, в числе 0,56 цифра 5 находится в разряде десятых, а цифра 6 — в разряде сотых.
Вавилоняне применяли шестидесятеричную систему счисления, то есть в ее основу было положено число 60. (В вавилонской системе числа записывались в виде комбинации двух символов — вертикального клина
и горизонтального клина
.) До сих пор неизвестно, почему вавилоняне выбрали именно число 60 в качестве основания позиционной системы, хотя, возможно, это объясняется тем, что шестьдесят — минимальное число, которое делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6, а это упрощало решение ряда арифметических задач. Вавилоняне расширили свою систему представления чисел на дроби. У них не было специального «шестидесятеричного» символа, подобного нашей десятичной запятой, поэтому значение разрядов приходилось определять по контексту. Например, число 123 могло означать также, что цифра 1 находится в разряде единиц, цифра 2 — в разряде шестидесятых, а цифра 3 — в разряде 3600-х. Позиционные дроби значительно превосходят простые дроби, как мы знаем по собственному опыту применения десятичных дробей. Для их записи требуется меньше символов, и с ними проще делать расчеты. Вавилоняне умели извлекать корень из двух до трех шестидесятеричных разрядов, или с точностью около 0,000008 от истинного значения — поразительный результат для того периода. Легкость, с которой вавилоняне делили углы на более мелкие части, позволила им добиться выдающихся для своего времени успехов в астрономии.
