Красота в квадрате (Беллос) - страница 52
Метод простаферезиса вдохновил шотландца Джона Непера на поиск еще более эффективного способа преобразования умножения в сложение, что в 1614 году привело к открытию логарифма. Вместо умножения двух чисел теперь можно было сложить их логарифмы. Логарифмы Непера существенно упростили процесс умножения, из-за чего метод простаферезиса утратил популярность. Тем не менее на протяжении нескольких десятилетий триумфа прямоугольный треугольник — квинтэссенция геометрии — играл двойную роль в качестве невидимого оружия арифметики.
Хотя треугольники, несомненно, весьма полезны по отдельности, в командной игре они особенно эффективны. Если нарисовать сеть треугольников (как показано на рисунке ниже) и измерить в ней все углы, то достаточно определить точную длину одной линии, чтобы рассчитать длину всех остальных линий сети. Предположим, нам известна точная длина линии, выделенной жирным; обозначим ее как l. Тригонометрическое тождество, которое принято называть теоремой синусов, дает нам формулу расчета длины двух других сторон треугольника:
где α — угол, противоположный жирной линии, β и γ — два других угла треугольника. Поскольку все углы в треугольниках сети известны, на основании длины каждой очередной линии можно вычислить длину двух других линий — и так далее, пока не будет известна длина каждой линии сети. Этот метод применим к любым треугольникам, а не только к прямоугольным.
В 1533 году голландский математик Гемма Фризиус понял, что метод триангуляции как нельзя лучше подходит для картографии, поскольку измерять углы гораздо легче, чем большие расстояния [10]. Его идея состояла в том, чтобы выбрать точки на местности так, чтобы от каждой из них было видно две других, и построить таким образом сеть треугольников. Он измерил углы между точками с помощью теодолита — круглого транспортира на подставке. Определив длину базисной линии, Гемма Фризиус смог рассчитать все остальные расстояния, используя тригонометрические таблицы, а затем нарисовал точную карту местности.
Триангуляция
Франция стала первой страной, в которой триангуляция была выполнена по всей территории, и произошло это в 1668 году. Единственная сложная задача в любом виде триангуляции заключается в измерении первого расстояния. Аббат Жан Пикар взял за основу участок прямой дороги от Вильжюиф до Жувиньи длиной в 11 километров, который тщательно измерил с помощью деревянных мерных реек. Затем Пикар отправился на север, используя в качестве вершин треугольников такие ориентиры, как часовые башни и вершины холмов, и измеряя только углы между ними. Добравшись до Атлантического океана, Пикар обнаружил, что побережье гораздо ближе расположено к Парижу, чем считалось раньше. «Твоя работа стоила мне приличной части моих владений!» — фыркнул Людовик XIV. Начатый Пикаром процесс триангуляции продолжался еще столетие после его смерти, пока территорию Франции не покрыли четыре сотни треугольников. Знаменитая карта Франции, составленная в итоге, содержала больше деталей, чем любая другая из созданных ранее карт, и была выполнена почти в том же масштабе, что и стандартные туристические карты Michelin, доступные в наше время.