Красота в квадрате (Беллос) - страница 55
Ученые пользовались таблицами тригонометрических функций на протяжении двух тысяч лет. В настоящее время мы носим их в карманах. Принцип, который гласит, что стороны треугольников с одинаковыми углами пропорциональны, был положен в основу первого математического доказательства и сохраняет свою важность в информационную эпоху.
4. Конусоголовые
Давайте возьмем прямоугольный треугольник и модифицируем его, вращая вокруг одной из меньших сторон. Полученный трехмерный объект — это конус: геометрическое тело с основой в виде круга и острой вершиной. Такие объемные фигуры не очень практичны: их нельзя катать как шары или складывать друг на друга как кубики. Тем не менее в прошлом конус активно использовался в моделях головных уборов. Вьетнамские крестьяне, работающие на рисовых полях, волшебники, отстающие ученики — все они носили остроконечные шляпы. У древних греков среди ремесленников и простого люда был популярен конусообразный головной убор из войлока или кожи — пилос. Однако в целом интерес к конусу имел скорее интеллектуальный, чем портняжный характер, поскольку конус — это настоящий математический клад.
Разрежьте конус ножом — и получите сечение в виде одной из четырех кривых: окружность, эллипс, парабола или гипербола. Форма конического сечения зависит от угла наклона лезвия ножа. Горизонтальный разрез образует окружность; наклонный разрез, пересекающий боковую поверхность конуса, — эллипс; разрез, параллельный образующей конуса, — параболу, а более глубокие разрезы — гиперболу, как показано на рисунке ниже. Анализ конических сечений стал высшим достижением древнегреческой геометрии и представляет собой яркий пример того, как некий объект исследований изучался исключительно ради удовольствия и лишь тысячелетие спустя нашел важнейшее применение. Оказалось, что обычный конус содержит ответы на фундаментальные вопросы об устройстве Вселенной.
Конические сечения
Окружность — это замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра. Привяжите нить к карандашу и воткнутой в бумагу булавке, натяните нить — и сможете нарисовать окружность. А теперь сделайте из нити петлю и зафиксируйте ее на двух булавках, как показано на рисунке ниже. Путь, который пройдет карандаш, туго натягивающий нить, — это эллипс. Все окружности имеют одинаковую форму, а это значит, что при их уменьшении или увеличичении полученная в итоге окружность будет идентична любой другой окружности. Эллипсы, напротив, бывают разной формы, зависящей от положения булавок, или фокусов. Чем ближе фокусы друг к другу, тем больше эллипс напоминает окружность. Когда фокусы совпадают, эллипс превращается в окружность. На самом деле в математике окружность считается частным случаем эллипса с совпадающими фокусами.