Красота в квадрате (Беллос) - страница 75

Циклоида

На представленном выше рисунке обозначены позиции точки на каждой четверти оборота колеса; здесь отчетливо видно, что точка проходит большее расстояние, находясь в верхней половине колеса. В процессе перемещения колесо совершает два типа движений: горизонтальное движение по поверхности земли и вращательное движение вокруг центра колеса, причем движения обоих типов по-разному сочетаются друг с другом на протяжении цикла. Если колесо вращается с постоянной скоростью, точка на нем достигает максимальной скорости по отношению к земле на вершине циклоиды, а минимальной — в точке перегиба, где скорость становится равной нулю и сразу же снова начинает увеличиваться. Поразительно то, что у любого движущегося колеса (даже колеса автомобиля, мчащегося со скоростью 200 миль в час) точка контакта с землей неподвижна. Художники знают, что верхняя половина движущегося колеса перемещается быстрее, чем нижняя, поэтому рисуют верхнюю часть расплывчатой, а нижнюю — более четкой. Точно так же спицы колеса движущегося велосипеда видны ближе к земле, где они вращаются достаточно медленно, чтобы их можно было заметить.

Колесо поезда состоит из двух частей: диска, который опирается на рельсы, и реборды, или обода, провисающего сбоку. Точка на ободе описывает кривую, образующую обратную петлю, находясь ниже уровня рельсов, как показано на рисунке. Следовательно, у колес всех поездов есть момент, когда колесо движется в направлении, противоположном движению поезда.

Траектория движения точки на колесе поезда

За всю историю математики ни одна кривая не была объектом столь пристального внимания, как циклоида в XVII столетии. Ее форма была так изящна, а споры между ее поклонниками — настолько ожесточенными, что она заслужила репутацию «Елены Прекрасной геометров» [5]. Галилей, самый главный поклонник этой кривой, использовал прикладные методы в процессе ее изучения. Он вырезал пластину в виде циклоиды из куска материала и вычислил, что она в π раз тяжелее, чем пластина из того же материала, вырезанная в форме образующей окружности. Из этого Галилей сделал вывод, что площадь под кривой в π раз больше площади круга. Он получил очень близкий, но все же неправильный результат. Эта площадь больше ровно в три раза, что доказал впоследствии французский математик Жиль Персонн Роберваль.

Роберваль (1602–1675) доказал много теорем о циклоиде, но не опубликовал ни одной из них. Для того чтобы сохранить место профессора математики в самом престижном учебном заведении страны Коллеж де Франс, он должен был предоставлять лучшее решение задачи, которая публично объявлялась один раз в три года. Поэтому у Роберваля не было стимула делиться своими результатами, поскольку ими могли бы воспользоваться потенциальные соперники, внимательно следившие за его работой. Должность Роберваля обеспечивала ему престиж и деньги, но лишила собственного научного наследия. Его можно отнести к числу великих французских математиков, о которых помнят меньше всего. Известно, что Роберваль был очень вспыльчив и расстраивался, когда другие ученые обнародовали результаты, которые он уже давно получил. Когда в 1644 году друг Роберваля, итальянец Эванджелиста Торричелли, опубликовал свой первый труд о циклоиде, разъяренный Роберваль отправил ему письмо с обвинениями в плагиате. Торричелли умер три года спустя от тифа, но ходили слухи, что его смерть связана с измучившими его угрызениями совести из-за обвинений в подобном бесчестии.