Красота в квадрате (Беллос) - страница 84
Фигуры Лиссажу — иллюстрация из книги, опубликованной в 1875 году. В левом столбце изображений для каждого ряда указано соотношение частот синусоид
Из книги: John Tyndall, Sound (Third Edition), Longmans, Green and Co., 1875
От частоты колебания камертона зависит, какую ноту он издает. Например, при частоте 262 колебания в секунду он издает ноту «до» третьей октавы. Таким образом, благодаря экспериментам Лиссажу у музыкантов появился новый, более эффективный способ калибровки камертонов: вместо того чтобы определять их настройку на слух — использовать зрение. Квалифицированные специалисты применяют пучки света в своих мастерских. Если у двух камертонов отличается высота звука, значит, частота колебаний у них тоже разная, поэтому двойное отражение луча света дает размытую картинку. Специалисты выбирают один камертон в качестве эталона, а второй обрабатывают до тех пор, пока рисунок на стене не превратится в эллипс — это подтверждает, что оба камертона звучат на одной ноте.
Фигуры Лиссажу — результат сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Можно ли суммировать синусоиды, колеблющиеся вдоль одной и той же оси?
Разумеется, можно! И это приводит нас к одной из самых красивых и полезных теорем в математике. Для того чтобы вам было легче воспринимать дальнейший материал, позвольте мне объяснить три концепции, неразрывно связанные с изучением волн: частота, амплитуда и фаза. Частота — это количество колебаний, которые совершает волна за определенный промежуток времени; амплитуда — расстояние по вертикали между вершиной и впадиной волны; фаза — показатель позиции волны по горизонтали.
Вооружившись данными концепциями, мы можем дать математическое описание синусоид, которые представлены на рисунке ниже:
1)-это уже знакомая нам синусоида, описываемая уравнением y = sin x;
2)-если увеличить частоту в два раза (а это значит, что волна повторяется дважды за тот же период, за который исходная волна образуется только один раз), уравнение кривой будет выглядеть так: y = sin 2x;
3)-если удвоить амплитуду (то есть высота волны увеличивается в два раза), уравнение становится следующим: y = 2sin x;
4)-если изменить фазу, сместив волну влево на четверть ее длины, получим косинусоиду, которой соответствует уравнение y = cos x.
Все волны, образованные в результате изменения частоты, амплитуды и фазы синусоиды, тоже являются синусоидами. Частоту, амплитуду и фазу легче себе представить, вспомнив о том, что синусоиду создает перемещение точки по окружности: частота зависит от скорости перемещения точки, амплитуда — от радиуса окружности, а фаза — от исходной позиции точки;