Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии (Гомес) - страница 15
В формулировке Плейфера этот отказ означает две возможности: либо отрицать уникальность параллельной прямой, либо отрицать ее существование. Это может быть выражено следующими альтернативными утверждениями.
1. В плоскости через точку Р, не лежащую на данной прямой l, проходит более одной прямой, параллельной данной.
2. В плоскости через точку Р, не лежащую на данной прямой l, не проходит ни одна прямая, параллельная данной.
* * *
ИММАНУИЛ КАНТ (1724–1804)
Знаменитый немецкий философ Иммануил Кант получил строгое образование, при котором латинскому языку и религии уделялось больше внимания, чем математике и естественным наукам. И только в университете он по-настоящему занялся физикой и математикой. Но когда умер его отец, Кант был вынужден оставить учебу и работать репетитором, чтобы прокормить себя. В 1755 г. благодаря помощи друга он продолжил образование и получил докторскую степень. Кант в конечном счете стал преподавателем, работая в университетах в течение 15 лет, читая лекции по истории, естественным наукам и математике, а также по философии. Кант считается одним из самых ярких мыслителей современной Европы. С самого начала его теории оказывали огромное влияние на интеллигенцию и до сих пор являются основой современной философии, которая постоянно ссылается на него. Идеи Канта нашли отражение во многих дисциплинах: в философии, праве, этике, логике… Вместе с Платоном, Аристотелем и Декартом Кант является одним из основоположников западной философской мысли, отцом современной философии.
* * *
Чтобы в полной мере понять эти формулировки, нам в первую очередь необходимо выйти за рамки нашего восприятия того, чем являются параллельные линии. Новая геометрия может быть построена таким способом: мы сохраним все постулаты Евклида, но только заменим пятый постулат его альтернативой. Такая геометрия позволяет получать логичные результаты и не имеет внутренних противоречий. Первая такая геометрия, так называемая гиперболическая геометрия, была предложена Николаем Лобачевским (1792–1856) и Яношем Бойяи (1802–1860). Другую геометрию, так называемую эллиптическую геометрию, сформулировал Бернхард Риман (1826–1866).
Развитие неевклидовых геометрий проходило в два этапа: сначала были попытки доказать пятый постулат Евклида, а потом появились новые геометрии с альтернативным пятым постулатом, которые сосуществовали с евклидовой геометрией.
Такой подход предполагает существенные изменения в нашем восприятии реальности. Например, пятый постулат Евклида можно рассматривать в формулировке о сумме углов треугольника и сформулировать альтернативные постулаты. Сумма трех внутренних углов любого треугольника равна 180° — но только в мире Евклида, где параллельные линии можно продолжать до бесконечности и пространство не искривлено. А если бы Евклид побывал в бесконечности и увидел, что там произошло с параллельными линиями? А вдруг они бы пересеклись? Это бы значило, что пространство искривлено, а сумма углов треугольника больше 180°, как если бы треугольник был нарисован на поверхности апельсина. Аналогично в гиперболической геометрии, где параллельные линии неумолимо расходятся, сумма углов треугольника меньше 180°.