Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии (Гомес) - страница 32
У Евклида через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной. Лобачевский утверждал, что таких прямых по крайней мере две. По словам Римана, таких прямых вообще не бывает.
У Евклида параллельные прямые находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, у Лобачевского это не так. Что касается суммы углов треугольника, у Евклида она всегда 180°, у Лобачевского — меньше 180°, а у Римана — больше 180°.
Если взять точку на прямой линии, то у Евклида и Лобачевского линия будет разделена на две части, но у Римана это не так. У Евклида два треугольника с одинаковыми углами подобны, а у Лобачевского и Римана такие треугольники конгруэнтны.
В следующей таблице приведены основные различия этих геометрий:
Евклидова геометрия может быть построена на плоскости, гиперболическая геометрия — на поверхности псевдосферы, а эллиптическая — на поверхности сферы.
Эти модели наглядно показывают интерпретацию пятого постулата в каждой геометрии, что изображено на следующих рисунках вместе с соответствующими проекциями. Обратите также внимание на то, как выглядят прямоугольники в каждой геометрии.
В евклидовом прямоугольнике все углы по 90°, в геометрии Лобачевского углы «прямоугольника» меньше 90°, а в эллиптической геометрии — больше 90°.
На евклидовой плоскости только одна прямая параллельна l. На псевдосфере бесконечное число прямых, проходящих через Р и лежащих между прямыми l>1 и l>2, не пересекаются с прямой l. На сферической поверхности через точку Р не проходит ни одной линии, параллельной l. Прямая l пересекает любую другую, проходящую через точку Р.
* * *
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ В РЕАЛЬНОСТИ
На всех глобусах Земли изображены меридианы. Все эти линии, перпендикулярные экватору, пересекаются в двух точках, в полюсах сферы. Кроме того, меридианы являются конечными линиями. Тот же эффект можно наблюдать вдоль длинной прямой дороги: кажется, что параллельные линии встречаются на горизонте. Даже евклидова реальность предполагает существование других геометрий.
С другой стороны, если мы представим себя на поверхности шара и нарисуем там треугольник, чему будет равна сумма его внутренних углов? А если мы представим себя на внутренней поверхности шара, чему тогда будет равна сумма внутренних углов треугольника? А теперь представьте себе огромный воздушный шар, бесконечно большой, на поверхности которого живут крошечные, бесконечно малые существа. В их мире, кривая поверхность будет казаться плоской, то есть, евклидовой.
* * *
Воображаемые муравьиные бега являются очень удобным способом ясно и наглядно смоделировать три типа геометрии и проиллюстрировать их сходства и различия.