Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел (Лизана) - страница 17
Построение шестиугольника с помощью линейки и циркуля по описанным ранее правилам показано на рисунке.
Проведем две параллельные вертикальные прямые и третью, перпендикулярную им. Проведем окружности радиусом АВ с центрами в точках А и В. Возьмем одну из точек пересечения, например О. Это центр шестиугольника. Теперь проведем окружность с центром в точке О и радиусом ОА. Получаем точки Р и Q в местах пересечения с предыдущими окружностями и точки R и S в местах пересечения вертикальных прямых с окружностью, которую мы только что провели. Соединив вершины, получаем искомый правильный шестиугольник.
Построение шестиугольника с помощью идеальных линейки и циркуля, по традиции древних греков. Гаусса привлекло построение этих фигур, и в 19 лет он доказал, что таким образом можно нарисовать правильный многоугольник с 17 сторонами.
После того как мы определили правила, сформулированные древними греками, возникает вопрос: можно ли построить с помощью линейки и циркуля любой правильный многоугольник? Это зависит от того, о каком многоугольнике мы говорим. На основе построения шестиугольника тривиальным является построение равностороннего треугольника, поскольку для этого нужно лишь соединить чередующиеся вершины. Другая классическая проблема построений с помощью линейки и циркуля заключается в том, чтобы провести биссектрису угла. Сочетая эти два процесса, мы можем утверждать, что можно построить, по крайней мере в теории, все правильные многоугольники с числом сторон 3 х 2n, где n — натуральное число. Так, для n = 2 мы получаем 12-угольник, или многоугольник с 12 сторонами, а для n = 3 — многоугольник с 24 сторонами, и так мы можем продолжать, просто увеличивая п. Это решение очень далеко от общего ответа на вопрос. И мы увидим, что это частный случай предложенного Гауссом решения.
Греки нашли решение для пятиугольника, но общую проблему это не устранило, поскольку не был найден метод построения многоугольника с семью сторонами (а также других многоугольников с количеством сторон меньше 20). Более того, даже не было известно, существуют ли такие методы. Гаусс заинтересовался проблемой и нашел метод построения 17-угольника. Много лет спустя он будет вспоминать этот момент в письме Герлингу от 6 января 1819 года:
«Это произошло 29 марта 1796 года, во время каникул в Брауншвейге, и это абсолютно не было случайным, поскольку это был плод усиленных размышлений; утром этого дня, еще не встав с кровати, я увидел очень четко всю эту связь, так что я тут же применил к 17-угольнику соответствующее числовое утверждение».