Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел (Лизана) - страница 58

Риман вернулся в Гёттинген в 1849 году, чтобы закончить докторскую диссертацию и отдать работу на оценку своему учителю, Гауссу. Он сделал это в 1854 году, за год до смерти наставника.

Когда Риман начал заниматься простыми числами, нужно было доказать еще две гипотезы Гаусса. Во-первых, что функция π(Ν) может быть точно выражена Li(N) для любого N, то есть что разница между ними является бесконечно малой, таким образом, ее предел стремится к нулю. И во-вторых, что Li(N) > π(Ν) для любого значения Ν. Чтобы взяться за проблему, Риман ввел знаменитую дзета-функцию, которая определяется следующим образом:

где z — комплексное число, отличное от 1. У этой функции есть значения, в которых она равна нулю, такие как z = -2, z = -4 и другие, известные под названием тривиальных нулей. Нетривиальные нули — это те, для которых действительная часть строго больше нуля, но строго меньше 1. Вспомним, что комплексное число всегда имеет вид а + bi где а и b — действительные числа. Итак, для нетривиальных нулей справедливо 0 < а < 1.

Риман своим определением всего лишь обобщил функцию, изученную Эйлером, который обозначил ее так же:

Разница между дзета-функцией Римана и функцией Эйлера состоит в области определения. Для Эйлера х имеет действительное значение, в то время как у Римана z — комплексное число. Следовательно, функция Эйлера принимает действительные значения, в то время как функция Римана принимает комплексные значения.

Интерес математиков к этой бесконечной сумме, известной как ряд, происходит из мира музыки, и этот ряд появился раньше исследований Эйлера, хотя именно он изучил его наиболее глубоко и нашел связь с простыми числами. Пифагор заметил, что звук, издаваемый сосудом с водой, зависит от количества содержащейся в нем жидкости. Оказалось, что звуки гармоничны, если количество воды является частью от целого, дробью с числителем 1, то есть 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... Пифагор назвал этот ряд гармоническим. Сумма гармонического ряда равноценна тому, что в дзета-функции Эйлера х взяли равным 1. Можно доказать, что сумма этого ряда бесконечна. На первый взгляд это очевидный результат, поскольку если мы сложим бесконечное количество положительных чисел, сумма будет расти и в конце концов примет бесконечное значение. Но дело в том, что это не так: для х = 2 ряд расходится. Действительно, Эйлер доказал, что значение

В истории математики не всегда было ясно, будет ли сумма бесконечного числа положительных членов обязательно равна бесконечности, и даже появились философские теории, посвященные этому.