Трехмерный мир. Евклид. Геометрия (Каррера) - страница 33

Появление альтернативных геометрических учений привело к яростным философским спорам, которым можно подвести итог словами немецкого логика Готлоба Фреге из его посмертной статьи «О евклидовой геометрии»:

«Никто не может одновременно служить двум господам. Нельзя служить правде и лжи. Если евклидова геометрия верна, то неевклидова — ложна. Если верна неевклидова геометрия, то ложна евклидова. [...] Или так, или эдак! От какой же надо отказаться — от евклидовой или неевклидовой? Вот в чем вопрос».

Но все не так просто. Если мы будем исходить из гипотезы о том, что верна одна геометрия — например, геометрия Евклида, — то мы можем построить в ней такие поверхности, как сфера, обладающие эллиптической геометрией, и другие — при помощи геометрии внутреннего двора: первым таким примером стала псевдосфера Эудженио Бельтрами (1835-1900) в гиперболической геометрии. Другими словами, правильность одной геометрии подразумевает правильность и остальных, поскольку во всех них существуют поверхности или пространства, где они могут быть справедливы.

Если мы возьмем трактрису — кривую, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с осью OY является постоянной величиной (см. рисунок), — и будем вращать ее вокруг OY (ее асимптоты), то получим псевдосферу, первую модель гиперболической геометрии.

В 1899 году Гильберт опубликовал работу «Основания геометрии», в которой переписал «Начала» Евклида, дав им твердое основание и не прибегая ни к интуиции, ни к рисункам. Основные объекты — будь то «точки, прямые и плоскости» или «стулья, столы и пивные стаканы», как говорил Гильберт,— определялись исключительно аксиомами, которые устанавливали отношения между ними. Интересно, что Евклид принял за «истинную» не сферическую, а идеальную геометрию, основанную на абсолютно правильных построениях, а не на том, что мы видим вокруг. Единственно возможное объяснение — влияние Платона, благодаря которому Евклид по умолчанию признавал существование этой идеальной геометрии, не подверженной воздействию другой реальности, не подразумевающейся в ней самой.

Во Вселенной геометрия связана с поверхностью, на которой она рассматривается, то есть с геометрическими объектами. Представим, что мы, как современный Архимед, лежим в ванне и рисуем прямые линии на ее стенках: некоторые из них — на дне — будут прямыми в евклидовом смысле слова, другие будут восходящими кривыми (те, что идут со дна ванны вверх по стенкам) и нисходящими (те, что идут по стене от верхнего бортика). Теперь зададимся вопросом: почему некоторые из них могут называться прямыми, а другие нет?