Теория [бесконечных] множеств — это область, в которой ничто не очевидно; истинные высказывания ее часто парадоксальны, а предполагаемые высказывания ложны.
Феликс Хаусдорф, немецкий математик, 1914 год
Предложение Кантора заключалось в том, чтобы определить числа и операции с ними на основе множеств. Как это сделать? Например, число 0 может быть определено как количество элементов пустого множества (то есть множества, у которого нет членов). Число 1 может быть определено как количество элементов любого множества, в котором выполняется свойство «во множестве есть некоторый элемент, и, кроме того, если х и y — элементы множества, то х = y».
С другой стороны, в теории множеств существует операция под названием объединение. Если задано два множества, объединение состоит в том, чтобы собрать в новом множестве элементы их обоих. Например, объединение множества, содержащего в качестве элемента город Париж, и множества, содержащего город Рим, — это множество, содержащее оба города одновременно. Сумму чисел можно определить, согласно предложению Кантора, на основе этой операции теории множеств. Если п — это количество элементов одного множества, а т — количество элементов другого множества (которое не содержит общих элементов с первым), то п + т может быть определено как количество элементов результата объединения этих двух множеств.
Как можно было ожидать и, вероятно, как предвидел сам Кантор, теория множеств вызвала большое сопротивление. Его бывший учитель Леопольд Кронекер назвал Кантора совратителем молодежи и воспользовался своим немалым влиянием на немецкие научные журналы, чтобы те не публиковали его работы.
Однако со временем теория множеств и актуальная бесконечность получили признание. Почему это произошло? Может быть, Кантору удалось убедить Кронекера? Чтобы ответить на эти вопросы, стоит вспомнить утверждение Планка: «Новая научная истина побеждает не потому, что ее противники убеждаются в ее правильности и прозревают, а скорее потому, что ее противники постепенно вымирают, а новое поколение усваивает эту истину буквально с молоком матери».
Когда Планк писал эти слова, он думал о квантовой механике, но этот принцип можно применить и к теории множеств. В конце XIX века новое поколение математиков, среди которых был Давид Гильберт, начало видеть в теории Кантора важный вклад в науку. Обычно молодежь расположена разрушать традиции, так что, возможно, новое поколение было готово разбить аристотелевское видение бесконечности.
В 1890-м, за год до смерти Кронекера, Кантор был выбран председателем недавно созданного Немецкого математического общества, и его идея считать теорию множеств базой и основанием математики начинала набирать сторонников. Одним из них был немецкий логик Готлоб Фреге.