Проблема нахождения системы аксиом для арифметики была представлена Гильбертом в докладе 1900 года (вторая проблема в списке), хотя в ее формулировку не было включено существование механической проверки рассуждений. Зато вопрос алгоритма появлялся в десятой проблеме, в которой спрашивалось, всегда ли возможно механически определить, имеет ли решение особый тип уравнений, называемых диофантовыми. Как мы видим, в докладе ученого появились, хотя и по отдельности, две центральные идеи формальной программы.
Иногда говорят, что Гильберт считал, будто работа математика должна сводиться к механическому процессу: он, словно компьютер, должен вычислять, но не думать. Но это не так. Механический характер носит только проверка справедливости аргументов, использованных математиком, а не открытие самих аргументов. Чтобы подчеркнуть эту разницу, Гильберт говорил о двух науках: математике и метаматематике. Объектом второй науки, механической и связанной с конечностью, была бы проверка методов первой.
АКСИОМЫ ПЕАНО
Давид Гильберт в качестве одной из кардинальных проблем представил нахождение множества аксиом арифметики, которые позволили бы доказать все истины теории (не упоминая необходимости механической проверки правильности использованных рассуждений). В своем докладе Гильберт не указал на существующие работы по этой теме. Это упущение вызвало недовольство Джузеппе Пеано — итальянского математика, присутствовавшего на лекции Гильберта. В1889 году он предложил аксиомы арифметики, считая, что они позволят вывести все истинные арифметические высказывания. Аксиомы Пеано, как они известны сегодня, имеют в качестве первичных элементов число 1, знаки сложения (+) и умножения (·) и функции последующего элемента (S).
— Аксиома 1: S(x) никогда не равно 1, то есть 1 не является последующим членом ни для какого числа.
— Аксиома 2: если S(x) = S(y), то х = у.
— Аксиома 3: х + 1 = S(x).
— Аксиома 4: х + S(y) = S(x + у).
— Аксиома 5: х · 1 = х.
— Аксиома 6: х · S(y) = х · у + х.
— Аксиома 7: если можно доказать, что 1 выполняет некое свойство, х его выполняет и S(x) — тоже, то можно сделать вывод: это свойство справедливо для всех натуральных чисел.
Последняя аксиома, также называемая схемой индукции, выражает тот факт, что все натуральные числа получаются на основе единицы повторяющимся применением функции последующего элемента. Если свойство справедливо для числа 1 и мы можем быть уверены, что оно будет распространяться на каждое число, выраженное последующим элементом, то это свойство будет справедливо для всех натуральных чисел. Следствие из теоремы Гёделя состоит в том, что если учитывать условие алгоритмической проверки всех рассуждений, то будут существовать арифметические истины, недоказуемые на основе этих аксиом. Таким образом, арифметика будет неполной.