Это возвращает нас к сформировавшемуся еще в Античности пониманию математики как науки, объектом которой является изучение структуры мира в предельно общей (идеальной) форме, а предметом – особого рода математические объекты.
Для истории и философии математики важным является вопрос об онтологическом и эпистемологическом статусе математических объектов. В решении этого вопроса в философии математики можно выделить несколько позиций.
Первая приписывает математическим объектам более высокий онтологический статус, чем объектам окружающего мира, и более высокий эпистемологический статус по сравнению с другими категориями познания. Эта позиция явным образом представлена в математике Платона, которая предполагает автономное самостоятельное существование мира общих понятий – идей. Позиция, утверждающая, что общее существует независимо от отдельных вещей, получила в философии название реализма. Чувственно воспринимаемый окружающий мир не может быть предметом познания, т. к. вещи окружающего мира имеют «неправильную» форму, непрерывно меняются и разными людьми воспринимаются по-разному. Чувственно воспринимаемый мир – это мир видимости, иллюзий. Истина доступна не чувственному, а теоретическому познанию, одной из форм существования которого является математика.
Математические объекты обладают особого рода бытием, признаками, которыми не могут обладать объекты чувственного мира.
Во-первых, они являются идеальными, т. е. представляют предельную, чистую форму существования объекта (они идеальны в том смысле, в каком мы говорим: идеальный человек). Если математик в своей работе и прибегает к использованию чертежей, рисунков, схем и наглядных образов, то это для него лишь вспомогательные средства. Его доказательства относятся не к нарисованным фигурам, а к их идеям (идее треугольника как такового, в чистом виде), в результате математика, а вслед за ней и вся наука начинают работать с особого рода идеализированной действительностью.
Во-вторых, математические сущности могут быть объектами лишь особого рода реальности, существующей как бы параллельно с окружающим миром (идеальный человек в окружающем мире не встречается).
В-третьих, математические объекты в силу своей идеальности самотождественны. Невозможно два раза нарисовать абсолютно одинаковую окружность. Но формула позволяет задавать один и тот же объект бесконечно.
В-четвертых, объекты окружающего мира возникают и разрушаются, идеальные математические объекты вечны.
И, наконец, в-пятых, будучи идеальными и самотождественными, они обладают характером общезначимости, т. е. воспринимаются всеми людьми одинаково.