Таким образом, позиция реализма определяет мир математических объектов как действительный мир, как сущность мира эмпирического. Математические структуры, например геометрия Евклида, представляют действительную (идеальную) структуру мира.
Вторая позиция исходит из того, что математические понятия существуют в уме человека. При этом математический язык рассматривается как лучший способ описания мира. Теория, рассматривающая общие понятия как существующие в уме человека, получила в философии название концептуализма.
Таким образом, можно истолковать понимание природы математики в философии Аристотеля. Математические объекты не обладают более высоким онтологическим статусом, чем объекты окружающего мира. Они являются предикатами (признаками) предметов. Они существуют в том же смысле, в каком существует движение. Мы можем сказать, что тело движется и что оно имеет длину и четыре плоскости. Математические понятия существуют не сами по себе, а в уме человека. В то же время математические понятия, по Аристотелю, обладают предельной смысловой наполненностью, а именно красотой. Эта предельная смысловая наполненность является результатом абстрактности математического мышления, которое рассматривает категории, отвлекаясь от их материального носителя.
Отрицая крайности платоновско-пифагорейской традиции, а именно существование самостоятельного мира математических сущностей, Аристотель сохраняет за математикой статус науки, предлагающей наиболее адекватный язык познания.
И наконец, третья позиция исходит из того, что реально существуют лишь единичные чувственные вещи, математические понятия – всего лишь символы, удобные в применении. Это является выражением в математике философского номинализма. Базовые понятия математики вводятся в науку по соглашению. Вопросы о том, что такое точка, прямая, плоскость, являются бессмысленными. Значение имеет то, как эти понятия используются в принятом языке. Математические понятия не имеют никакого самостоятельного существования и не должны отсылать нас к привычным образам, обыденному смыслу терминов или к воображению. Математический язык – это удобный экономный способ описания предметного мира.
3.1.2. Философские проблемы обоснования математики. Вплоть до XIX в. математика оставалась эталоном строгости, доказательности и достоверности научного знания.
Сомнения в достоверности оснований математики возникли в первую очередь в результате разработки неевклидовой геометрии в течение XVIII–XIX вв. Неевклидова геометрия поставила под сомнение абсолютность математических аксиом, идею тождества математической структуры и структуры мира, и показала неясность и необоснованность математики. Важно подчеркнуть, что неевклидовы геометрии (Гаусса, Римана, Лобачевского) не были просто интеллектуальной игрой, они позволяли описывать физическое пространство. Но при этом было очевидно, что они противоречат друг другу и что невозможно установить, какая из этих геометрий истинна.