Ударом для математики стало и обнаружение противоречий в канторовской теории множеств. Противоречивое исчисление, как известно, позволяет доказывать как теорему любое положение. Если математика противоречива, то она бессмысленна.
Проблемы, возникшие в математике, поставили под сомнение достоверность всей науки. Если абсолютных истин нет даже в математике, то есть ли они вообще? И математики в конце XIX – начале XX в. прилагают отчаянные усилия спасти науку. Они пытаются найти некие абсолютно достоверные основания математики, доказать их полноту и непротиворечивость.
Традиционно выделяют следующие направления обоснования математики: логицизм (Г. Фреге, Б. Рассел); интуиционизм (Э. Брауэр, А. Гейтинг); формализм (Д. Гилберт); теоретико-множественный (Э. Цермело, А. Френкель).
Логицисты занимали позицию реализма в понимании онтологического статуса математических объектов. Математика должна быть полностью выведена из логики. Математические теоремы и доказательства позволяют нам выявить то, что в неявном виде содержится в принципах логики. Законы логики логицисты считали априорно истинными. Это давало им основания верить в возможность построения абсолютно истинной математики.
Логицизм вызвал резкую критику в среде математиков, т. к. его сторонники использовали для обоснования математики ряд аксиом (аксиома сводимости, аксиома бесконечности, аксиома выбора), истинность которых вызывала серьезные сомнения. С философской точки зрения, логицизм тоже не выдерживал критики: если вся математика следует из законов мышления, то каким образом с помощью дедуктивного вывода можно получить описание структуры всего бесконечно разнообразного мира?
Интуиционисты были концептуалистами в понимании природы математических понятий. Основатель интуиционизма Брауэр считал, что математика вырастает из природы человеческого разума и вне него не существует. Как продукт человеческого разума она автономна – не зависит ни от опыта, ни от языка, и она должна опираться на интуитивно очевидные понятия. Такими понятиями являются целые числа, сложение, умножение и математическая индукция. Математическое мышление, опираясь на интуитивно очевидные понятия, конструирует истинное описание мира. Логика и опыт нужны тем, кто лишен интуиции. Логика – это определенная форма языка, а язык, по сути, неспособен без искажений представлять мысль. Не математика должна быть основана на логике, а наоборот, логика – на математике. Интуиция (а не логика или опыт) является критерием приемлемости математических положений.