В 1931 г. К. Гёдель доказал, что, во-первых, непротиворечивость аксиоматической системы не может быть установлена средствами самой этой системы на основе математических принципов, принятых различными школами в основаниях математики: логицистами, формалистами и представителями теоретико-множественного направления; во-вторых, он доказал теорему о неполноте аксиом, согласно которой, если система аксиом непротиворечива, то она неполна6.
По общему признанию, эти открытия доказывали невозможность полной аксиоматизации научного знания. Любая система аксиом содержит утверждения, истинность которых устанавливается нестрогими методами.
Таким образом, решение проблемы обоснования привело математику к осознанию того, что она не может предложить науке некие абсолютно достоверные (доказанные в некотором абсолютном, строгом смысле слова) основания. Научное знание невозможно полностью формализовать, по крайней мере, на основе известной нам математики.
3.1.3. Математика и естествознание. Связь математики и естествознания возникает в эпоху Нового времени. Это стало возможным благодаря возникновению алгебры, что объясняется следующими обстоятельствами.
Во-первых, как уже было отмечено, для алгебры безразлична природа объекта. В алгебре величины выражаются буквами, последние связываются воедино некоторым уравнением, из которого и нужно найти неизвестную величину. Вместо алгебраических переменных можно подставлять физические, химические, экономические величины. Предметные области разные, а правила вычисления – одинаковые.
Во-вторых, для возникновения математического естествознания важной стала возможность представления функций алгебраическими формулами. Это позволило использовать математику для описания изменения и движения в природе. Идею описания движений с помощью формул выдвинул Галилей. Зная формулы и начальные условия, с помощью чисто алгебраических средств можно извлечь неисчерпаемое количество сведений о движении тела.
Именно алгебраический метод во многом задает характерные черты методологии классической науки, такие как достоверность, простота, механистичность, полнота. Как алгебра стремится к построению алгоритмов вычисления, так и классическое естествознание видит идеал своего метода в построении алгоритма, который позволил бы отличать истинное от ложного и получать новые научные истины без излишней траты умственных сил.
Математика становится универсальным языком науки, внутренней формой ее развития, где форма – это способ организации движения содержания. Именно математика делает научные теории относительно независимыми от эмпирии, а значит, и от множества аномалий, которые окружают каждую теорию. Первые математические модели, возникающие на базе той или иной теории, как правило, слишком просты и поэтому заведомо ограничены. В результате развитие теории происходит в направлении усложнения математического аппарата, способного представлять все более сложные и адекватные модели объектов исследуемой области.