Факультет. Курс второй (Картавцев) - страница 37

Представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов комплексными числами

«Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в:

Pue.7

Фазовый угол (ax^>+ψ_>e) определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

В соответствие с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

Параметр E_>m, соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют

комплексной амплитудой:

, а параметр –

комплексом мгновенного значения.

Параметр e^>jwt является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положения на угол ±а.

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно

мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды E_>m и оператора поворота e^>jwt:

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

– то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу ^>ψU, т. е. угол, который образует вектор Ūm с положительной полуосью + 1:

При записи выражения для определенности было принято, что U^>i_>m>0, т. е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах.

Если U^>i_>m<0, то при U^>n_>m>0 (второй квадрант)

Если задано мгновенное значение тока в виде i=!_>m sin{ωt+Ψi), то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока i_>3 по рис. 5 получим:

– Кирилл, сыграешь сегодня в преф? – перед последней субботней парой («Гадалкой») к Кириллу подошел Вадик. – Втроем интересно, но вчетвером же лучше. А ты, считай, уже месяца два с нами не садился!