3. Излучение. Волны. Кванты (Фейнман) - страница 56
Полное поле в точке Р получается суммированием вкладов от всех зарядов в плоскости. Разумеется, мы должны взять векторную сумму полей. Но поскольку направление поля примерно одинаково для всех зарядов, в рамках сделанного приближения достаточно сложить величины всех полей. Кроме того, в нашем приближении поле в точке Рзависит только от r, следовательно, все заряды с одинаковым r создают равные поля. Поэтому, прежде всего, сложим поля всех зарядов в кольце шириной dr и радиусом r. Интегрируя затем по всем r, получаем полное поле всех зарядов.
Число зарядов в кольце равно произведению площади кольца, 2nrdr, на h— плотность зарядов на единицу площади. Отсюда
Интеграл берется в пределах r=0 и r=Ґ. Время t, конечно, зафиксировано, так что единственными меняющимися величинами являются r и r. Отвлечемся пока от постоянных множителей, включая и e>i>w>t, и вычислим интеграл
(30.13)
Для этого учтем соотношение между r и r:
(30.14)
При дифференцировании формулы (30.14) z нужно считать независимым от r, тогда
2rdr = 2rdr,
что очень кстати, поскольку при замене в интеграле rdr на rdr знаменатель r сокращается. Интеграл приобретает более простой вид
(30.15)
. Экспонента интегрируется очень просто. Нужно поставить в знаменатель коэффициент при r в показателе экспоненты и взять саму экспоненту в точках, соответствующих пределам. Но пределы по r отличаются от пределов по р. Когда r=0, нижний предел r=z, т. е. пределы по r равны z и бесконечности. Интеграл (30.15) равен
(30.16)
Вместо (r/с)Ґ мы здесь написали Ґ, поскольку и то и другое означает просто сколь угодно большую величину!
А вот е>->i>Ґ— величина загадочная. Ее действительная часть, равная cos (-Ґ), с математической точки зрения величина совершенно неопределенная. [Хотя можно допустить, что она находится где-то [а может быть и всюду (?)—между +1 и -1!]Но в физической ситуации эта величина может означать нечто вполне разумное и обычно оказывается равной нулю. Чтобы убедиться, что это так в нашем случае, вернемся к первоначальному интегралу (30.15)
Выражение (30.15) можно понимать как сумму большого числа маленьких комплексных чисел, модуль которых ar, a угол в комплексной плоскости q=-wr/с. Попробуем оценить эту сумму графически. На фиг. 30.11 отложены первые пять членов суммы. Каждый отрезок кривой имеет длину Dr и расположен под углом Dq =-w(Dr/с) к предыдущему отрезку. Сумма первых пяти слагаемых обозначена стрелкой из начальной точки к концу пятого отрезка. Продолжая прибавлять отрезки, мы опишем многоугольник, вернемся примерно к начальной точке и начнем описывать новый многоугольник. Чем большее число отрезков мы будем прибавлять, тем большее число раз мы обернемся, двигаясь почти по окружности с радиусом с/w. Теперь понятно, почему интеграл дает при вычислении неопределенный ответ!