3. Излучение. Волны. Кванты (Фейнман) - страница 73
(32.3)
Фиг. 32.1. Площадь кольца на сфере, равная 2nrsinQrdQ.
Умножая поток [мощность на 1 м>2, согласно формуле (32.2)] на площадь полоски, найдем энергию, излучаемую в интервале углов q и q+dq; далее нужно проинтегрировать по всем углам q от 0 до 180°:
(32.4)
Необходимо сделать несколько замечаний по поводу этого выражения. Прежде всего, поскольку а' есть вектор, то а'>2 в формуле (32.5) означает а'·а', т. е. квадрат длины вектора. Во-вторых, в формулу (32.2) для потока входит ускорение, взятое с учетом запаздывания, т. е. ускорение в тот момент времени, когда была излучена энергия, проходящая сейчас через поверхность сферы. Может возникнуть мысль, что энергия действительно была излучена точно в указанный момент времени. Но это не совсем правильно. Момент излучения нельзя определить точно. Можно вычислить результат только такого движения, например колебания и т. п., где ускорение в конце концов исчезает. Следовательно, мы можем найти только полный поток энергии за весь период колебаний, пропорциональный среднему за период квадрату ускорения. Поэтому а'>2 в (32.5) должно означать среднее по времени от квадрата ускорения. Для такого движения, когда ускорение в начале и в конце обращается в нуль, полная излученная энергия равна интегралу по времени от выражения (32.5).
Посмотрим, что дает формула (32.5) для осциллирующей системы, для которой ускорение а' имеет вид w>2x>0е>i>w>t. Среднее за период от квадрата ускорения равно (при возведении
в квадрат надо помнить, что на самом деле вместо экспоненты должна входить ее действительная часть — косинус, а среднее от cos>2wt дает >l/>2):
(32.6)
Эти формулы были получены сравнительно недавно — в начале XX века. Это замечательные формулы, они имели огромное историческое значение, и о них стоило бы почитать в старых книгах по физике. Правда, там использовалась другая система единиц, а не система СИ. Однако в конечных результатах, относящихся к электронам, эти осложнения можно исключить с помощью следующего правила соответствия: величина q>2>e/4pe>0, где q>е — заряд электрона (в кулонах), раньше записывалась как е>2. Легко убедиться, что в системе СИ значение е численно равно 1,5188·10>-14, поскольку мы знаем, что
q>e= 1,60206·10>-1>9 и 1/4pe>0= 8,98748·10>9. В дальнейшем мы будем часто пользоваться удобным обозначением
(32.7)
Если это численное значение e подставить в старые формулы, то все остальные величины в них можно считать определенными в системе СИ. Например, формула (32.5) прежде имела вид Р = >2/>3е>2а>2/с>3. А потенциальная энергия протона и электрона на расстоянии r есть