Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике. (Пиньейро) - страница 18
Георг Кантор в 1870 году по прибытии в Галльский университет.
Университет в Галле, приблизительно 1936 год.
Портрет Рихарда Дедекинда. Генрих Кенигсдорф, 1927 год.
Портрет Карла Теодора Вильгельма Вейерштрасса. Конрад Фер.
Немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943) придумал задачу, в которой упрощенно излагается одно из следствий теории Кантора. Представим себе отель, в котором есть бесконечное количество комнат, обозначенных номерами 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. В каждом номере есть постояльцы, которых мы для удобства так же обозначим числами 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Однажды в отель приезжает новый гость, назовем его Господином 0, но все номера заняты, а по правилам отеля двое людей не могут занимать один номер. Господин 0 уже собирается уходить, когда ему предлагают такой вариант: он поселится в номере 1, гость 1 — в номере 2, гость 2 — в номере 3 и так далее. Таким образом, Господин 0 сможет остановиться в отеле, и никто не останется без комнаты.
На языке математики эта история доказывает, что множество чисел 0, 1, 2, 3,4,... эквивалентно множеству чисел 1, 2, 3, 4, 5,... То есть любое бесконечное множество, к которому добавляется новый элемент, эквивалентно изначальному множеству.
Положение каждого рационального числа также строго определено. Если мы разделим отрезок между 0 и 1 на шесть равных частей, первой точке после 0 будет соответствовать число 1/6, второй — 2/6 (обратим внимание, что 2/6 = 1/3), третьей — 3/6 (то есть 1/2) и так далее.
Существуют ли рациональные числа между 1/3 и 1/2? Да, так как, например, есть их среднее арифметическое, 5/12. А между 1/3 и 5/12? Тоже: их средним арифметическим будет 3/8. Таким образом, как бы близко друг к другу ни располагались два рациональных числа, между ними всегда будут другие рациональные числа.
Из этого следует, что любой отрезок числовой оси, каким бы маленьким он ни был, всегда будет содержать бесконечное количество рациональных чисел. В этом и заключается различие между рациональными и целыми числами. Разумеется, ни натуральные, ни целые числа этим свойством не обладают. Следовательно, мы можем утверждать, что рациональных чисел на числовой оси больше, чем натуральных, но все-таки между ними есть взаимно однозначное соответствие.
Чтобы объяснить, как оно возникает (и открыл его Кантор), отметим на оси дроби, полученные с помощью двух натуральных чисел. Сначала запишем единственную дробь, составляющие которой в сумме равны 2:1/1. Затем дроби, составляющие которых в сумме равны 3: 1/2 и 2/1. После дроби, составляющие которых в сумме равны 4:1/3 и 3/1, опуская дробь 2/2, так как 2/2 = 1/1, а ее мы уже отметили. Продолжим с дробями, составляющие которых в сумме дают 5, затем 6 и так далее, всегда опуская дроби, равные уже записанным. У нас получится ось, которая в начале выглядит следующим образом.