То, что эти задачи эквивалентны, означает: если допустимо построить отрезок длины π, то можно построить и квадратуру круга, и наоборот. Если же одно из этих построений неосуществимо, то неосуществимо и другое. Первый важный шаг в решении этой задачи был сделан в XVIII веке, когда доказали, что для того чтобы построить отрезок с помощью линейки и циркуля, его длина должна соответствовать алгебраическому числу. Точное определение алгебраического числа слишком сложное, достаточно сказать, что таким называется число, являющееся решением уравнения определенного типа (такого, в котором задействованы целые числа). К тому же не все алгебраические числа могут быть найдены с помощью циркуля и линейки, а только отвечающие определенным требованиям.
Числа, не являющиеся алгебраическими, получили название «трансцендентных». В начале XIX века этот термин считался сугубо теоретическим, поскольку хотя и было известно, что все рациональные числа являются алгебраическими (как и некоторые иррациональные, например √2), существование трансцендентных чисел еще не стало фактом. В частности, предстояло установить, является π алгебраическим или трансцендентным числом.
Первое трансцендентное число нашел французский математик Жозеф Лиувилль (1809-1882) в 1844 году. Сейчас его называют постоянной Лиувилля. Оно начинается с 0,11000100 0000000000000001000... (первая 1 стоит на первом месте после запятой, вторая на месте 1-2 = 2, третья на месте 1 · 2 · 3 = 6 и так далее). Лиувилль обнаружил также еще несколько трансцендентных чисел, похожих на это. В 1873 году другой математик, Шарль Эрмит (1822-1901), открыл, что трансцендентным является число е (основание натуральных логарифмов).
В статье 1874 года Кантор тоже внес большой вклад в эту область, косвенно доказав, что любой отрезок числовой оси содержит бесконечное количество трансцендентных чисел.
Каким образом? Усовершенствовав метод, позволяющий показать, что рациональные числа могут организоваться в последовательность, Кантор доказал, что и множество алгебраических чисел, содержащихся в любом отрезке числовой оси, может быть представлено в виде последовательности. Вещественные числа, расположенные на том же самом отрезке, напротив, последовательностью быть не могут. Это означает, что два этих множества не могут быть одинаковыми, так как одно обладает свойством, отсутствующим у другого. Следовательно, на произвольном отрезке числовой оси все числа не могут быть алгебраическими, но не могут не быть трансцендентными. Таким образом, на каждом отрезке числовой оси есть трансцендентные числа, а на всей прямой — бесконечное количество трансцендентных чисел. Доказательство было непрямым, поэтому отметим: из рассуждений Кантора следует, что существует бесконечное количество трансцендентных чисел, хотя ученый и не привел ни одного конкретного примера.