Однако Кантора это не остановило: он был убежден в вероятности и даже необходимости создания математической теории бесконечности. Благодаря своей непреклонной логике он развил одну из самых удивительных на сегодняшний день теорий и использовал новый подход к математике — более свободный и дающий множество возможностей. Одной из самых оригинальных концепций Кантора стали ординалы — числа, позволяющие вести исчисление за пределами бесконечности. После бесконечного ряда чисел 0, 1,2, 3, 4, 5,..., по утверждению Кантора, следует трансфинитное (то есть ординальное) число ω. Затем идут ω + 1, ω + 2, ω + 3,..., а после этого ряда ω + ω + 1, ω + ω + 2,... и так далее.
Но правильно ли «изобретать» эти числа таким произвольным способом? Что обозначает число ω? До XIX века все понятия, которыми оперировали математики, были тесно связаны с более или менее конкретными задачами, с ситуациями, представляемыми или связанными с реальностью. Например, описание физических явлений, изучение свойств геометрических объектов или конечных рядов чисел (1, 2, 3, 4,...). Так, 0, обозначающий «количество, которого нет», не сразу был признан полноценным числом, на это ушло несколько столетий. То же самое и с отрицательными числами: еще в XVIII веке Лейбниц не считал их существующими. В целом числа признавались, только если они так или иначе обозначали некое количество, которое можно зрительно представить.
Число ω обозначает актуально бесконечное количество; ни один предмет, ни одно физическое явление не поможет представить его, оно есть только в нашем сознании. Тем не менее Кантор со своими строго логическими рассуждениями «заставил» нас принять его за существующее, для чего ученому пришлось изменить подход к математике. Сегодня к математическим концепциям больше не предъявляются требования соответствовать реальности или представлять конкретное явление. Они только должны быть логически последовательными. За исключением этого ограничения, математики абсолютно вольны создавать, исследовать, анализировать, играть с понятиями, идеями и теориями.
После Кантора сущность математики изменилась, и он с большим удовлетворением принял бы нынешнее положение вещей — когда ученые могут свободно выдвигать теории и концепции. Ведь он утверждал, что чистая математика должна называться свободной. Говоря его словами, «сущность математики — в ее свободе».
1845 3 марта в Санкт-Петербурге у Георга Вальдемара Кантора и Марии Анны Бойм рождается сын Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор.
1856 Семья переезжает в Германию.