Я против использования бесконечных величин как чего-либо законченного, это использование недопустимо в математике.
Карл Фридрих Гаусс, письмо от 1831 года
Писец поймет, что всей его жизни не хватит, чтобы завершить этот труд, и возьмет ученика, чтобы тот продолжил записывать числа после него. Этот второй писец, в свою очередь, возьмет еще одного ученика и так далее.
Будет ли список чисел, составленный всеми этими писцами, бесконечным? Ответ «да, будет, но только в потенции». Список чисел не является статичной группой, он постоянно растет, и этот рост никогда не закончится. На определенный момент времени — не важно, насколько далеко в будущем, — список будет конечным, но продолжит расти без ограничений.
Таким образом, потенциальная бесконечность — это бесконечность списка, который конечен на каждый момент времени, но может расти безгранично. В этом случае бесконечность приобретает негативный оттенок — это свойство, которое делает невозможным завершение работы.
Теперь возьмем группу, состоящую из всех натуральных чисел, абсолютно всех без исключения (вне зависимости от того, записаны они или нет). Разумеется, список будет бесконечным, только в таком случае мы имеем дело со статичной, завершенной бесконечностью. В эту группу входят все числа, к ней больше ничего не надо добавлять. Это и есть актуальная бесконечность.
Перенесем это понятие на такие величины, как вес, объем или длина. Например, если нарисовать отрезок (прямую, соединяющую точку А с точкой В), его длина, разумеется, будет конечной. Но геометрия говорит нам, что продолжать его можно сколько угодно. И если мы предположим, что это продолжение будет бесконечным, то получим линию с потенциально бесконечной длиной. Она всегда конечна, но способна бесконечно возрастать (см. рисунок 1).
Прямые, которые рассматриваются в современной геометрии, тем не менее имеют длину, считающуюся актуально бесконечной, и они тянутся непрерывно без начала и конца. Заметим, что такую линию невозможно изобразить.
Интересно, что все группы или величины, связанные с природными явлениями, никогда не являются актуально бесконечными, напротив, большинство из них конечны, и лишь очень малая часть — бесконечны, но только в потенции. Так, согласно принятым на сегодняшний день физическим теориям материя не является бесконечно делимой. Каждый атом состоит из определенного количества элементарных неделимых частиц. Возможно даже, что ни время, ни пространство не делимы бесконечно.
С другой стороны, космологи утверждают, что объем и диаметр Вселенной вполне могут быть потенциально бесконечными (диаметр Вселенной — это наибольшее расстояние, которое можно измерить, между двумя ее точками).