Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир (Литвак, Райгородский) - страница 81

Теперь давайте посмотрим, на сколько количество серверов с k заявками или больше увеличивается в единицу времени. Чтобы увеличить число таких серверов, заявки должны поступать на серверы, у которых в данный момент k − 1 заявка. При методе выбора из двух вероятность того, что новое задание попадет на сервер с k или больше заявками, равна

потому что в этом случае оба случайно и независимо выбранных сервера должны иметь k или больше заявок, и для каждого из двух серверов эта вероятность и_>k[26]. Значит, вероятность того, что новая заявка поступит на сервер, у которого ровно k − 1 заявка, равна

Поскольку заявок в единицу времени поступает λп, то получается, что число серверов с k или больше заявками в единицу времени в среднем увеличивается на

Так как система находится в равновесии, число серверов с k или больше заявками должно оставаться неизменным, то есть (П.9) равняется (П.11). Отсюда получаем уравнение баланса:

Результат, приведенный в работе{34}, говорит, что при определенных общепринятых предположениях о законе поступления заданий и времени их выполнения, в пределе для бесконечного количества серверов, уравнение (П.12) действительно описывает равновесное состояние системы. Это достаточно сложный технический результат. Нетрудно проверить или даже догадаться, что решение уравнения (П.12) задается формулами:

Это так называемый двойной экспоненциальный закон. Двойка в формуле, та самая двойка – вторая степень – из выражения (П.10). Точно так же мы могли бы выбирать не из двух, а из r серверов и получили бы

Интересно заметить, что при тех же предположениях, но случайном выборе одного сервера, изменятся выражения (П.10) и, соответственно, (П.11). Действительно, на этот раз заявка выбирает только один сервер и вероятность попасть на сервер с k или больше заявками равна просто и_>k. Тогда вместо (П.12) получаем классическое уравнение баланса:

решение которого задается известной формулой Эрланга:

Очевидно, что и_>k в формуле (П.13) убывает гораздо быстрее.

Именно эти формулы мы использовали в табл. 5.1. В нашем случае λ = 0,9, и в таблице мы привели значения f_>k. В первой колонке – значения k, во второй – значения f_>k, подсчитанные по формуле (П.14), в третьей – значения f_>k, подсчитанные по формуле (П.13).

Назад к Главе 5

Для начала введем обозначения. Пусть р – заданное простое число, g – заданное натуральное число, g < p. На самом деле g это так называемый первообразный корень