Основой доказательства является аргумент, демонстрирующий, что последовательность поглощений объединяет осцилляторы в группы, размеры которых все время увеличиваются – до тех пор, пока все они не образуют одну гигантскую совокупность. Если вы не математик, вас, наверное, интересует, как можно доказать все это. Существует бесконечно большое число способов запуска такой системы; как же в таком случае можно охватить одним доказательством все эти бесчисленные варианты? И где гарантия, что в конечном счете произойдет количество поглощений, достаточное для того, чтобы привести такую систему к полному синхронизму?
Ниже излагаются наши рассуждения по этому поводу. Не волнуйтесь, если какие-то детали этих рассуждений покажутся вам непонятными. Моя задача в данном случае заключается лишь в том, чтобы дать вам самое общее представление о том, как выстраиваются такие доказательства. Трудно рассчитывать на что-либо большее, если ваши познания в области математики ограничиваются курсом геометрии, который вы проходили в старших классах школы и который зачастую преподается в механистическом и авторитарном стиле. На самом деле конструирование математического доказательства – весьма творческий процесс, полный нечетких идей и образов, особенно на ранних стадиях этого процесса. Строгие формулировки появляются позже. (Если это не особенно интересует вас, можете пропустить следующие несколько страниц.)
Первым шагом является каталогизация всех возможных начальных конфигураций. Вернемся, например, к случаю двух осцилляторов. По причине использования Пескином уловки со стробами нам вовсе необязательно наблюдать за осцилляторами все время. Достаточно сосредоточиться на одном моменте в каждом цикле. В качестве такого момента мы выбрали момент непосредственно после запуска осциллятора A и его возвращения к исходному состоянию. Тогда на осцилляторе B может быть любое «напряжение» между исходным состоянием и порогом. Представляя напряжение на осцилляторе B в виде точки на числовой оси, исходное состояние на которой отображается нулем, а порог – единицей, мы видим, что существует линейный сегмент разных возможностей. Этот одномерный сегмент охватывает все возможные начальные условия для данной системы (поскольку нам известно, что осциллятор A находится в 0 [только что запустился и сбросился в исходное состояние], единственной переменной является B, который должен пребывать где-то вдоль линейного сегмента между 0 и 1).
Три осциллятора создают большее пространство возможностей. В этом случае нам нужно знать два числа: учитывая, что A только что запустился и находится в 0, нам все еще нужно указать напряжения осцилляторов B и C в этот момент. Как выглядит геометрия, соответствующая какой-то паре чисел? Мы можем представлять их как две координаты некой точки в двумерном пространстве.