"Поехали... Мне надо стать первым. Я не просто хочу на математическую олимпиаду в Лондон - мне туда надо. Другого надежного способа отправить ряд писем в Рим, Лондон и Вашингтон у меня не будет еще долго, поэтому, если понадобится, я смухлюю... Но очень не хотелось бы к этому прибегать", - и я собрался.
"Пятизначное число делится на сорок один. Докажите, что любое пятизначное число, полученное из него круговой перестановкой цифр, также делится на сорок один".
"Так. Так. Так. Это, вроде бы, не сложно. Пусть эн - исходное натуральное, его пять цифр - икс один, икс два, икс три, икс четыре, икс пять... А теперь круговая перестановка..."
И я склонился, покрывая лист недлинным, в несколько строчек, доказательством. Вот и все - теоремка доказана. Вспомнил наставление Валдиса и тщательно перепроверил решение.
Покосился на часы - прошло лишь пятнадцать минут. Отлично, следующая...
"Какое максимальное количество равносторонних треугольников может образоваться на плоскости при пересечении шести прямых".
Раз равносторонние, то должны быть параллельные линии...
Я быстро начертил решетку, получающуюся при пересечении трех пар параллельных линий. Четыре треугольника... Шесть... О! Если считать вложенные, то восемь. Звезда Давида получается...
Я еще чуть поигрался с линиями, и остановил себя. Надо не нарисовать, а доказать, что это число - максимально возможное. Задумчиво постучал кончиком авторучки по зубам. А ведь это - комбинаторика.
И я начал записывать:
"Для построения одного треугольника нужно три разных прямых. Берем три таких прямых, образующих при пересечении равносторонний треугольник, а, бэ и цэ. Рассматриваем классы прямых: A, Бэ, Цэ - классы прямых, параллельных прямым a, бэ и цэ, а также класс Дэ - прямые - не параллельные ни a, ни бэ, ни цэ..."
Через три часа я, весь из себя расслабленный и окрыленный успехом, спускался из аудитории. Первый! Я первый сдал все семь задач и получил все семь балов. Это было непросто, но приглашение на отбор на всесоюзную олимпиаду теперь лежало у меня в кармане. Меня просто не могут не пригласить на следующий тур, и это - хорошо.
"Странно", - думал я, сбегая по лестнице, - "очень странно. По идее, на городском этапе задачи должны быть сложнее, чем на районной, а они дались мне легче. Результат тренировки? Хорошо бы. Но через две недели все равно придется попотеть: устный тур! Первый предметный разговор с математиками", - и я заранее взопрел, ощутив себя презренным самозванцем, что покусился на святое, - "а ведь могут и валить начать... Явился неизвестно кто непонятно откуда, и теперь из команды надо выкинуть хорошо известного участника. Готовься, Дюха..."