). Наконец, через
А* мы будем обозначать множество всех чисел
х, для которых число
x*
х принадлежит
А. При этом нас будут интересовать системы, для которых выполняются следующие три условия G
>1, G
>2 и G
>3:
Условие G>1. Множество P допускает наименование в данной системе. Иначе говоря, существует по крайней мере одно число р, для которого А>р представляет собой множество гёделевых номеров доказуемых утверждений. (Для системы Фергюссона таким р было число 8.)
Условие G>2. Дополнение любого множества, допускающего наименование в данной системе, также именуемо в этой системе. Иначе говоря, для любого числа x найдется такое число х', для которого множество А>x' является дополнением множества А>х. (Для системы Фергюссона таким x' было число 3·х.)
Условие G>3. Для любого именуемого множества А множество А* также именуемо в данной системе. Иначе говоря, для любого числа x всегда найдется такое число х*, что множество А>x, — представляет собой, множество всех чисел n, для которых n*n принадлежит А>x. (Для системы Фергюссона таким х* было число 3·x + 1.)
Очевидно, что условия F>1, F>2 и F>3, характеризующие машину Фергюссона, представляют собой не более чем частные случаи условий G>1, G>2 и G>3. Последние имеют большое значение потому, что они действительно выполняются для самых разнообразных математических систем, в том числе и для тех двух систем, которые рассмотрены в работе Гёделя. Другими словами, оказывается возможным расположить все допускающие наименование множества в виде бесконечной последовательности A>1, A>2…, A>n… и ввести для всех утверждений некоторую частную нумерацию Гёделя, причем так, что будут выполняться условия G>1, G>2 и G>3. В результате все то, что является доказуемым для систем, удовлетворяющих условиям G>1, G>2 и G>3, будет применимо ко многим другим важным системам. Теперь мы можем сформулировать и доказать теорему Гёделя в общей форме.
Теорема G.Для любой правильной системы, удовлетворяющей условиям G>1, G>2и G>3, должно существовать утверждение, которое является истинным, но недоказуемым в данной системе.
Доказательство теоремы G представляет собой простое обобщение доказательства, которое уже известно читателю для системы Фергюссона. Обозначим через К множество таких чисел х, для которых элемент x*x не принадлежит множеству P. Поскольку множество P (согласно условию G>1) именуемо в данной системе, то же можно сказать и о его дополнении P̅ (согласно условию G>2), а следовательно, и о множестве P̅* (согласно условию G>3). Но множество P̅* совпадает с множеством К (поскольку P̅